сделай 1 вариант

Question

сделай 1 вариант

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа № 1.1
Вариант 1
1°. Основание $AD$ трапеции $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Через вершины $B$ и $C$ трапеции проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $E$ и $F$ соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых $EF$ и $AB$?
б) Чему равен угол между прямыми $EF$ и $AB$, если $\angle ABC=150^\circ$? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырёхугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырёхугольник — ромб.

Answer

Краткий ответ

1. а) $EF\parallel BC\parallel AD$; в обычной конфигурации $EF$ и $AB$ — скрещивающиеся прямые.
б) $30^\circ$.

2. Четырёхугольник, вершины которого — середины сторон $ABCD$, является ромбом.

1. Трапеция и плоскость

Так как $AD\parallel BC$ и $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Параллельные прямые $BE$ и $CF$ задают плоскость $\beta$. В ней лежат точки $B,C,E,F$, поэтому $BC\subset\beta$. Плоскости $\beta$ и $\alpha$ пересекаются по прямой $EF$. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит,

$$
EF\parallel BC.
$$

Но $BC\parallel AD$, поэтому

$$
EF\parallel AD\parallel BC.
$$

Прямая $AB$ пересекает $AD$ в точке $A$, но не параллельна $AD$, а значит, не параллельна и $EF$. В обычном случае $EF\ne AD$, поэтому $A\notin EF$; следовательно, $AB$ и $EF$ не пересекаются. Раз они не параллельны и не пересекаются, они скрещиваются.

Теперь угол. Так как $EF\parallel BC$, то

$$
\angle(EF,AB)=\angle(BC,AB).
$$

При вершине $B$ угол $\angle ABC=150^\circ$. Угол между прямыми берут не больше $90^\circ$, поэтому

$$
\angle(BC,AB)=180^\circ-150^\circ=30^\circ.
$$

Ответ: а) $EF$ и $AB$ — скрещивающиеся; б) $30^\circ$.

Небольшой нюанс: если специально провести $BE$ и $CF$ в плоскости трапеции, то $EF$ совпадёт с $AD$, и тогда $EF$ и $AB$ будут пересекаться в точке $A$. Это вырожденный случай; угол всё равно останется $30^\circ$, потому что $AD\parallel BC$.

2. Середины сторон пространственного четырёхугольника

Пусть $M,N,P,Q$ — середины сторон $AB,BC,CD,DA$ соответственно.

Рисунок: изобразите четыре точки $A,B,C,D$, не лежащие в одной плоскости, и соедините их последовательно: $A\to B\to C\to D\to A$. Отметьте середины $M,N,P,Q$ и соедините их: $M\to N\to P\to Q\to M$. Диагонали $AC$ и $BD$ проведите пунктиром; по условию $AC=BD$.

Доказательство:

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон, поэтому

$$
MN\parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC.
$$

В треугольнике $CDA$ отрезок $PQ$ тоже является средней линией:

$$
PQ\parallel AC,\qquad PQ=\frac12 AC.
$$

Значит,

$$
MN\parallel PQ,\qquad MN=PQ.
$$

Аналогично в треугольниках $BCD$ и $DAB$:

$$
NP\parallel BD,\qquad NP=\frac12 BD,
$$
$$
QM\parallel BD,\qquad QM=\frac12 BD.
$$

Следовательно, $MNPQ$ — параллелограмм. Кроме того, так как $AC=BD$,

$$
MN=NP=PQ=QM=\frac12 AC=\frac12 BD.
$$

Параллелограмм, у которого все стороны равны, — ромб. Значит, $MNPQ$ — ромб.

Проверка: если $AC=BD=2a$, то каждая сторона полученного четырёхугольника равна $a$. Квадратом он будет только при дополнительном условии $AC\perp BD$; в задаче этого нет.