сделай первый вариант

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа № 1.1
Вариант 1
1°. Основание $AD$ трапеции $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Через вершины $B$ и $C$ трапеции проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $E$ и $F$ соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых $EF$ и $AB$?
б) Чему равен угол между прямыми $EF$ и $AB$, если $\angle ABC=150^\circ$? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырёхугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками.
а)° Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырёхугольник — ромб.

Answer

Кратко.

1. а) $EF$ и $AB$ — скрещивающиеся. б) $30^\circ$.

2. Четырёхугольник из середин сторон — ромб.

1. Трапеция

Пусть $\beta$ — плоскость, проходящая через параллельные прямые $BE$ и $CF$. Тогда $B,C,E,F\in\beta$, а плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $EF$.

Так как $AD\parallel BC$ и $AD\subset\alpha$, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ проходит через $BC$ и пересекает $\alpha$ по $EF$, поэтому
$$
BC\parallel EF.
$$
Значит, и $EF\parallel AD$.

В обычном невырожденном случае $EF$ не проходит через $A$. Прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ только в точке $A$, а $A\notin EF$, поэтому $AB$ и $EF$ не пересекаются. Параллельными они тоже не являются, так как $EF\parallel BC$, а $AB$ не параллельна $BC$. Следовательно, $EF$ и $AB$ — скрещивающиеся.

Теперь угол. Поскольку $EF\parallel BC$,
$$
\angle(EF,AB)=\angle(BC,AB).
$$
Угол $\angle ABC=150^\circ$ — это угол между лучами $BA$ и $BC$. А угол между прямыми берут меньшим, поэтому
$$
180^\circ-150^\circ=30^\circ.
$$

Ответ: а) скрещиваются; б) $30^\circ$.

2. Пространственный четырёхугольник

Рисунок: нарисуйте пространственный четырёхугольник $ABCD$, соединив точки в порядке $A\to B\to C\to D\to A$. Отметьте середины сторон:
$$
M\in AB,\quad N\in BC,\quad P\in CD,\quad Q\in DA.
$$
Соедините $M,N,P,Q$ последовательно. Для наглядности можно взять каркас правильного тетраэдра: тогда $AC=BD$.

Доказательство. Рассмотрим треугольники:

в $\triangle ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины $AB$ и $BC$, значит, это средняя линия:
$$
MN\parallel AC,\qquad MN=\frac{AC}{2};
$$

в $\triangle BCD$:
$$
NP\parallel BD,\qquad NP=\frac{BD}{2};
$$

в $\triangle CDA$:
$$
PQ\parallel AC,\qquad PQ=\frac{AC}{2};
$$

в $\triangle DAB$:
$$
QM\parallel BD,\qquad QM=\frac{BD}{2}.
$$

Отсюда
$$
MN\parallel PQ,\qquad NP\parallel QM,
$$
то есть $MNPQ$ — параллелограмм.

Кроме того, по условию $AC=BD$, поэтому
$$
MN=NP=PQ=QM.
$$
Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Значит, полученный четырёхугольник — ромб.