Контрольная работа № 1.1. Вариант 1. 1°. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через вершины B и C трапеции проведены параллельные прямые

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа № 1.1
Вариант 1
1°. Основание $AD$ трапеции $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Через вершины $B$ и $C$ трапеции проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $E$ и $F$ соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых $EF$ и $AB$?
б) Чему равен угол между прямыми $EF$ и $AB$, если $\angle ABC=150^\circ$? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырёхугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырёхугольник — ромб.

Answer

1.
а) $EF$ и $AB$ — скрещивающиеся.
б) $30^\circ$.

Кратко: $BC\parallel AD\subset\alpha$, поэтому $BC\parallel\alpha$. Плоскость, проходящая через $BE$ и $CF$, пересекает $\alpha$ по $EF$, значит
$$
EF\parallel BC\parallel AD.
$$
Угол между прямыми берём острый:
$$
180^\circ-\angle ABC=180^\circ-150^\circ=30^\circ.
$$

2.
а) Рисунок: четырёхугольник $ABCD$; $M,N,P,Q$ — середины $AB,BC,CD,DA$; соединить $M-N-P-Q$.
б) В треугольниках $ABC,BCD,CDA,DAB$:
$$
MN\parallel AC,\quad MN=\frac{AC}{2};\qquad NP\parallel BD,\quad NP=\frac{BD}{2};
$$
$$
PQ\parallel AC,\quad PQ=\frac{AC}{2};\qquad QM\parallel BD,\quad QM=\frac{BD}{2}.
$$
Значит, $MNPQ$ — параллелограмм. Так как $AC=BD$, то $MN=NP$. Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб.