Геометрическая прогрессия

Кратко

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число \(q\) (знаменатель прогрессии):

\[ b_{n+1} = b_n \cdot q, \qquad q \neq 0. \]

Главные формулы

1. n-й член (чтобы не перемножать всё подряд):

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

2. Как найти знаменатель — делим любой член на предыдущий:

\[ q = \frac{b_{n+1}}{b_n}. \]

3. Сумма первых n членов:

\[ S_n = \frac{b_1\,(q^n - 1)}{q - 1} \quad \text{при } q \neq 1; \qquad S_n = n\,b_1 \quad \text{при } q = 1. \]

4. Характеристическое свойство (часто нужно в задачах): квадрат среднего члена равен произведению соседних —

\[ b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}. \]

5. Бесконечная убывающая прогрессия (при \(|q| < 1\)) имеет конечную сумму:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q}. \]

Пример с проверкой

Пусть \(b_1 = 3\), \(q = 2\). Тогда \(3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48, \ldots\)

• \(b_5 = 3 \cdot 2^{4} = 3 \cdot 16 = 48\) — совпадает с перебором;
• \(S_5 = \dfrac{3\,(2^5 - 1)}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93\), и действительно \(3+6+12+24+48 = 93\). ✔

Схема действий в задаче: выписать \(b_1\) и \(q\) → подставить в нужную формулу → проверить на первых членах.

Чтобы решить именно твоё задание, не хватает условия: какие числа даны и что нужно найти — член прогрессии, знаменатель, сумму или номер \(n\)?