Задача 9. 2.1.3.(122213) Материальная точка движется прямолинейно по закону...
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задача 9. 1) 2.1.3.(122213) Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=-\frac{1}{4}t^4+8t+14\), где \(x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t=8\) с. 2) 2.5.3.(124215) Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=\frac{1}{6}t^3-2t^2-4t+3\), где \(x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 38 м/с? 3) 3.9.1.(прототип 27489) На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y=6\) или совпадает с ней. [Рисунок: координатная плоскость с сеткой; график \(y=f(x)\) на интервале от -5 до 5; кривая с подъемами и спусками; оси x и y, на оси x отмечены -5, 0, 1, 5, вблизи оси y отмечена 1.] 4) 3.10.1.(прототип 40129) На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке \(x_0=8\). [Рисунок: координатная плоскость с сеткой; график \(y=f(x)\); отмечены штриховые вертикальная линия от оси x до графика и горизонтальная линия от оси y до точки графика; абсцисса отмеченной точки равна 8.]
На фото четыре задания. Краткие ответы:
- \(v(8)=-504\) м/с; модуль скорости — \(504\) м/с.
- \(t=14\) с.
- \(4\) точки.
- \(f'(8)=1{,}25\).
1. Скорость как производная координаты
По фото закон движения:
\[ x(t)=-\frac14t^4+8t+14 \]
Скорость — это производная координаты:
\[ v(t)=x'(t)=-t^3+8 \]
Подставляем \(t=8\):
\[ v(8)=-8^3+8=-512+8=-504 \]
Минус означает, что точка движется в направлении, противоположном выбранной оси. Если в задании под скоростью понимают её модуль, то ответ \(504\) м/с.
2. Когда скорость была равна \(38\) м/с
\[ x(t)=\frac16t^3-2t^2-4t+3 \]
\[ v(t)=x'(t)=\frac12t^2-4t-4 \]
Решаем уравнение:
\[ \frac12t^2-4t-4=38 \]
\[ t^2-8t-84=0 \]
\[ t_1=14,\qquad t_2=-6 \]
Время не может быть отрицательным, поэтому \(t=14\) с.
Проверка:
\[ v(14)=\frac12\cdot 196-56-4=98-60=38 \]
3. Сколько точек с горизонтальной касательной
Прямая \(y=6\) горизонтальна. Значит, касательная должна быть тоже горизонтальной, то есть:
\[ f'(x)=0 \]
Это точки локальных максимумов и минимумов. На графике таких точек \(4\): два максимума и два минимума.
4. Производная в точке касания
Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной:
\[ f'(x_0)=k \]
Касательная проходит через начало координат \((0;0)\). По сетке точка касания при \(x=8\) имеет ординату \(y=10\), то есть это точка \((8;10)\).
\[ k=\frac{10-0}{8-0}=\frac{10}{8}=1{,}25 \]
Значит,
\[ f'(8)=1{,}25 \]
