реши 7 с чертежом

Кратко: прямые \(AN\) и \(PM\) скрещиваются, угол между ними равен \(90^\circ\).

Решение

Масштаб на угол не влияет, поэтому пусть ребро куба равно \(4\). Введём координаты:

\[ A(0,0,0),\ B(4,0,0),\ C(4,4,0),\ D(0,4,0), \] \[ A_1(0,0,4),\ B_1(4,0,4),\ C_1(4,4,4),\ D_1(0,4,4). \]

Тогда

\[ M(4,2,0),\qquad N(4,2,4). \]

На ребре \(CD\): \(CP:PD=1:3\), значит \(CP=1\), \(PD=3\). Поэтому

\[ P(3,4,0). \]

Направляющие векторы прямых:

\[ \overrightarrow{AN}=(4,2,4),\qquad \overrightarrow{PM}=(1,-2,0). \]

Считаем скалярное произведение:

\[ \overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{PM} =4\cdot 1+2\cdot(-2)+4\cdot 0=0. \]

Значит, направления \(AN\) и \(PM\) перпендикулярны, поэтому

\[ \angle(AN,PM)=90^\circ. \]

Почему прямые скрещиваются

Прямая \(PM\) целиком лежит в плоскости основания \(ABC\). Прямая \(AN\) пересекает эту плоскость только в точке \(A\), так как у точки \(N\) координата \(z=4\), а у точек основания \(z=0\).

При этом \(A\notin PM\). Значит, \(AN\) и \(PM\) не пересекаются. Они также не параллельны: у вектора \(\overrightarrow{AN}\) есть ненулевая вертикальная составляющая, а у \(\overrightarrow{PM}\) она равна нулю.

Следовательно, прямые не параллельны и не пересекаются — они скрещиваются.

Чертёж

Схематично:

        D1──────C1
       /│     N/│
    A1──┼────B1 │
     │  │     │ │
     │  D────P─C
     │ /    M│/
     A────────B

Построение:

1. Нарисуй куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
2. \(M\) — середина \(BC\).
3. \(N\) — середина \(B_1C_1\). Полезно: \(N\) находится ровно над \(M\).
4. Раздели \(CD\) на 4 равные части; \(P\) — первая точка от \(C\), тогда \(CP:PD=1:3\).
5. Проведи \(AN\) внутри куба и \(PM\) в нижней грани.

Чтобы увидеть угол, через \(A\) проводят прямую, параллельную \(PM\); она перпендикулярна \(AN\), поэтому угол равен \(90^\circ\).