На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
3.9.1. (прототип 27489) На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\), определенной на интервале \((-5;5)\). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой \(y=6\) или совпадает с ней.
[Рисунок: координатная плоскость с осями \(x\) и \(y\). На оси \(x\) отмечены \(-5\), \(0\), \(1\), \(5\); на оси \(y\) отмечена \(1\). Изображён график \(y=f(x)\): слева он начинается в выколотой точке, затем плавно поднимается и опускается, правее оси \(y\) образует несколько плавных поворотов и заканчивается у правого края.]
Ответ: 4 точки.
Прямая \(y=6\) горизонтальна. Значит, нужно найти точки, где касательная к графику тоже горизонтальна. Для гладкого графика это точки с производной, равной нулю, то есть вершины локальных максимумов и минимумов: в них график на мгновение «перестаёт» подниматься или опускаться.
На рисунке таких мест четыре:
- максимум на левой «горке»;
- первый минимум — в «яме» правее оси \(y\);
- следующий максимум;
- второй минимум.
В остальных точках график наклонён вверх или вниз, поэтому касательная не горизонтальна. Края интервала \((-5;5)\) не считаем: интервал открытый.
Проверка: линия \(y=6\) проходит выше графика, значит совпадения касательной с этой прямой нет; остаются только четыре параллельные ей горизонтальные касательные.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни понятнее
Смотри проще: прямая \(y=6\) — горизонтальная, значит и касательная должна быть горизонтальной.
Представь, что ведёшь пальцем по графику слева направо:
- пока график идёт вверх или вниз — касательная наклонена;
- в самой верхней точке «горки» и в самой нижней точке «ямы» график на миг становится горизонтальным.
То есть считаем вершины горок и ямы:
- горка;
- яма;
- ещё одна горка;
- ещё одна яма.
Получается 4 точки, где касательная параллельна прямой \(y=6\).
Короткое правило: горизонтальная прямая параллельна касательной только в максимумах и минимумах графика.
