8.23. Решите неравенство:

Понял: оформляю по образцу — раскрываю модуль по знаку выражения внутри и решаю квадратные неравенства через дискриминант. Ответы не меняются.

В самом примере 6:
для \(2x^2-3x+2>0\) имеем \(D=-7<0\), поэтому выражение положительно при всех \(x\);
для \(2x^2-3x-2<0\) имеем \(D=25\), корни \(-\frac12\) и \(2\), поэтому \(-\frac12<x<2\).

1) \(|x^2+5x|<6\)

\[ -6<x^2+5x<6 \]

То есть:

\[ \begin{cases} x^2+5x+6>0,\\ x^2+5x-6<0. \end{cases} \]

Первое неравенство:
\[ D=25-24=1,\quad x_1=-3,\ x_2=-2, \] поэтому \(x<-3\) или \(x>-2\).

Второе неравенство:
\[ D=25+24=49,\quad x_1=-6,\ x_2=1, \] поэтому \(-6<x<1\).

Пересекаем:

\[ x\in(-6,-3)\cup(-2,1). \]

2) \(|x^2+3x|<x+4\)

Раскрываем модуль по знаку \(x^2+3x=x(x+3)\).

Случай 1: \(x^2+3x<0\), то есть \(-3<x<0\). Тогда модуль равен \(-(x^2+3x)\):

\[ -x^2-3x<x+4, \]

\[ x^2+4x+4>0. \]

\[ D=16-16=0,\qquad (x+2)^2>0, \]

значит \(x\ne-2\). С учётом \(-3<x<0\):

\[ x\in(-3,-2)\cup(-2,0). \]

Случай 2: \(x^2+3x\ge0\), то есть \(x\le-3\) или \(x\ge0\). Тогда:

\[ x^2+3x<x+4, \]

\[ x^2+2x-4<0. \]

\[ D=4+16=20,\qquad x_{1,2}=-1\pm\sqrt5. \]

Поэтому

\[ -1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5. \]

С учётом \(x\le-3\) или \(x\ge0\):

\[ x\in(-1-\sqrt5,-3]\cup[0,-1+\sqrt5). \]

Объединяем оба случая:

\[ \boxed{x\in(-1-\sqrt5,-2)\cup(-2,-1+\sqrt5)} \]

Точка \(-2\) выколота, потому что при \(x=-2\) получается равенство, а неравенство строгое.

3) \(x^2-x-2<|5x-3|\)

Случай 1: \(5x-3<0\), то есть \(x<\frac35\). Тогда \(|5x-3|=3-5x\):

\[ x^2-x-2<3-5x, \]

\[ x^2+4x-5<0. \]

\[ D=16+20=36,\quad x_1=-5,\ x_2=1. \]

Значит:

\[ -5<x<1. \]

С учётом \(x<\frac35\):

\[ -5<x<\frac35. \]

Случай 2: \(5x-3\ge0\), то есть \(x\ge\frac35\). Тогда:

\[ x^2-x-2<5x-3, \]

\[ x^2-6x+1<0. \]

\[ D=36-4=32,\qquad x_{1,2}=3\pm2\sqrt2. \]

Поэтому

\[ 3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2. \]

Так как \(3-2\sqrt2<\frac35\), с учётом \(x\ge\frac35\):

\[ \frac35\le x<3+2\sqrt2. \]

Объединяем:

\[ \boxed{x\in(-5,\,3+2\sqrt2)} \]

4) \(|x^2-3x|\ge x+5\)

\[ x^2-3x=x(x-3) \]

Случай 1: \(x^2-3x<0\), то есть \(0<x<3\). Тогда:

\[ -(x^2-3x)\ge x+5, \]

\[ -x^2+3x\ge x+5, \]

\[ x^2-2x+5\le0. \]

\[ D=4-20=-16<0. \]

Так как коэффициент при \(x^2\) положителен, \(x^2-2x+5>0\) при всех \(x\). Значит, здесь решений нет.

Случай 2: \(x^2-3x\ge0\), то есть \(x\le0\) или \(x\ge3\). Тогда:

\[ x^2-3x\ge x+5, \]

\[ x^2-4x-5\ge0. \]

\[ D=16+20=36,\quad x_1=-1,\ x_2=5. \]

Значит:

\[ x\le-1 \quad\text{или}\quad x\ge5. \]

С учётом \(x\le0\) или \(x\ge3\) получаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty,-1]\cup[5,+\infty)} \]

5) \(x|3x-1|<-2\)

Случай 1: \(3x-1<0\), то есть \(x<\frac13\). Тогда \(|3x-1|=1-3x\):

\[ x(1-3x)<-2, \]

\[ x-3x^2<-2, \]

\[ 3x^2-x-2>0. \]

\[ D=1+24=25, \]

\[ x_1=\frac{1-5}{6}=-\frac23,\qquad x_2=\frac{1+5}{6}=1. \]

Так как коэффициент при \(x^2\) положителен:

\[ x<-\frac23 \quad\text{или}\quad x>1. \]

С учётом \(x<\frac13\):

\[ x<-\frac23. \]

Случай 2: \(3x-1\ge0\), то есть \(x\ge\frac13\). Тогда:

\[ x(3x-1)<-2, \]

\[ 3x^2-x+2<0. \]

\[ D=1-24=-23<0. \]

Квадратный трёхчлен всегда положителен, значит, здесь решений нет.

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty,-\frac23\right)} \]

6) \(x^2+|x-3|-9<0\)

Случай 1: \(x-3<0\), то есть \(x<3\). Тогда \(|x-3|=3-x\):

\[ x^2+3-x-9<0, \]

\[ x^2-x-6<0. \]

\[ D=1+24=25,\quad x_1=-2,\ x_2=3. \]

Значит:

\[ -2<x<3. \]

С учётом \(x<3\):

\[ -2<x<3. \]

Случай 2: \(x-3\ge0\), то есть \(x\ge3\). Тогда:

\[ x^2+x-3-9<0, \]

\[ x^2+x-12<0. \]

\[ D=1+48=49,\quad x_1=-4,\ x_2=3. \]

Значит:

\[ -4<x<3. \]

С учётом \(x\ge3\) решений нет, так как \(x=3\) не входит: при \(x=3\) левая часть равна \(0\), а нужно \(<0\).

Ответ:

\[ \boxed{x\in(-2,3)} \]

Итоговые ответы:

1. \((-6,-3)\cup(-2,1)\)
2. \((-1-\sqrt5,-2)\cup(-2,-1+\sqrt5)\)
3. \((-5,\,3+2\sqrt2)\)
4. \((-\infty,-1]\cup[5,+\infty)\)
5. \(\left(-\infty,-\frac23\right)\)
6. \((-2,3)\)

Оформляю все шесть пунктов по одному образцу: раскрытие модуля (как в примере — через двойное неравенство или через два случая), дискриминант, корни, пересечение с условием случая, объединение и ответ.

1) \(|x^2+5x|<6\)

По образцу: \(|A|<b \iff -b<A<b\).

\[ -6<x^2+5x<6 \]

\[ \begin{cases} x^2+5x+6>0,\\ x^2+5x-6<0. \end{cases} \]

Первое неравенство: \[ D=25-24=1,\quad x_1=-3,\ x_2=-2 \Rightarrow x\in(-\infty,-3)\cup(-2,+\infty). \]

Второе неравенство: \[ D=25+24=49,\quad x_1=-6,\ x_2=1 \Rightarrow x\in(-6,1). \]

Пересечение:

\[ \boxed{x\in(-6,-3)\cup(-2,1)} \]

2) \(|x^2+3x|<x+4\)

Модуль меньше правой части, значит она должна быть положительной:

\[ x+4>0 \iff x>-4. \]

Раскрываем модуль двойным неравенством:

\[ -(x+4)<x^2+3x<x+4 \]

Левая часть:

\[ x^2+4x+4>0 \]

\[ D=16-16=0,\quad (x+2)^2>0 \Rightarrow x\ne-2. \]

Правая часть:

\[ x^2+2x-4<0 \]

\[ D=4+16=20,\quad x_{1,2}=-1\pm\sqrt5, \]

\[ -1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5. \]

Условие \(x>-4\) выполнено автоматически, так как \(-1-\sqrt5\approx-3{,}24>-4\). Исключаем \(x=-2\):

\[ \boxed{x\in(-1-\sqrt5,-2)\cup(-2,-1+\sqrt5)} \]

3) \(x^2-x-2<|5x-3|\)

Случай 1. \(5x-3<0 \iff x<\frac35\), тогда \(|5x-3|=3-5x\):

\[ x^2-x-2<3-5x, \]

\[ x^2+4x-5<0, \]

\[ D=16+20=36,\quad x_1=-5,\ x_2=1 \Rightarrow -5<x<1. \]

Пересечение с условием \(x<\frac35\):

\[ x\in\left(-5,\frac35\right). \]

Случай 2. \(5x-3\ge0 \iff x\ge\frac35\), тогда \(|5x-3|=5x-3\):

\[ x^2-x-2<5x-3, \]

\[ x^2-6x+1<0, \]

\[ D=36-4=32,\quad x_{1,2}=3\pm2\sqrt2. \]

Так как \(3-2\sqrt2\approx0{,}17<\frac35\), пересечение с \(x\ge\frac35\):

\[ x\in\left[\frac35,\ 3+2\sqrt2\right). \]

Объединяем случаи (точка \(\frac35\) входит в оба промежутка, поэтому объединение сплошное):

\[ \boxed{x\in\left(-5,\ 3+2\sqrt2\right)} \]

4) \(|x^2-3x|\ge x+5\)

\[ x^2-3x=x(x-3) \]

Случай 1. \(0\le x\le3\), тогда \(x^2-3x\le0\) и \(|x^2-3x|=3x-x^2\):

\[ 3x-x^2\ge x+5, \]

\[ x^2-2x+5\le0, \]

\[ D=4-20=-16<0. \]

Ветви параболы направлены вверх, значит \(x^2-2x+5>0\) при всех \(x\) — решений нет.

Случай 2. \(x<0\) или \(x>3\), тогда \(x^2-3x\ge0\):

\[ x^2-3x\ge x+5, \]

\[ x^2-4x-5\ge0, \]

\[ D=16+20=36,\quad x_1=-1,\ x_2=5 \Rightarrow x\le-1 \text{ или } x\ge5. \]

Пересечение с условием случая даёт тот же результат (точки \(x=0\) и \(x=3\) не подходят: \(0\ge5\) и \(0\ge8\) — неверно).

\[ \boxed{x\in(-\infty,-1]\cup[5,+\infty)} \]

5) \(x|3x-1|<-2\)

Если \(x\ge0\), то левая часть неотрицательна и не может быть меньше \(-2\). Значит \(x<0\).

При \(x<0\) имеем \(3x-1<0\), поэтому \(|3x-1|=1-3x\):

\[ x(1-3x)<-2, \]

\[ x-3x^2<-2, \]

\[ 3x^2-x-2>0, \]

\[ D=1+24=25,\quad x_1=\frac{1-5}{6}=-\frac23,\quad x_2=\frac{1+5}{6}=1, \]

\[ x<-\frac23 \text{ или } x>1. \]

Пересечение с условием \(x<0\):

\[ \boxed{x\in\left(-\infty,-\frac23\right)} \]

6) \(x^2+|x-3|-9<0\)

Случай 1. \(x<3\), тогда \(|x-3|=3-x\):

\[ x^2+3-x-9<0, \]

\[ x^2-x-6<0, \]

\[ D=1+24=25,\quad x_1=-2,\ x_2=3 \Rightarrow -2<x<3. \]

Пересечение с \(x<3\): \(x\in(-2,3)\).

Случай 2. \(x\ge3\), тогда \(|x-3|=x-3\):

\[ x^2+x-3-9<0, \]

\[ x^2+x-12<0, \]

\[ D=1+48=49,\quad x_1=-4,\ x_2=3 \Rightarrow -4<x<3. \]

Пересечение с \(x\ge3\) пусто.

\[ \boxed{x\in(-2,3)} \]

Итог:

1. \((-6,-3)\cup(-2,1)\)
2. \((-1-\sqrt5,-2)\cup(-2,-1+\sqrt5)\)
3. \(\left(-5,\,3+2\sqrt2\right)\)
4. \((-\infty,-1]\cup[5,+\infty)\)
5. \(\left(-\infty,-\frac23\right)\)
6. \((-2,3)\)

Если на фото есть ещё пункты, которых нет в этом списке, — напиши их номера, добавлю с таким же оформлением.