Обязательная контрольная работа №2 по теме «Степень с рациональным показателем. Степенная функция»

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Обязательная контрольная работа №2 по теме «Степень с рациональным показателем. Степенная функция»
Вариант 1

1. Представьте выражение $\sqrt[9]{b^4}$ в виде степени с рациональным показателем:
а) $b^{\frac{4}{9}}$; б) $b^{\frac{9}{4}}$; в) $b^{\frac{1}{9}}$; г) $b^{-\frac{4}{9}}$.

2. Вычислите: а) $27^{\frac{1}{3}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$; б) $81^{\frac{3}{4}}-\left(\frac{1}{9}\right)^{-0,5}$.

3. Упростите выражение: а) $\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)^2-\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)^2$; б) $\frac{a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}}{a^{-\frac{1}{2}}}$.

4. Решите уравнения:
а) $\sqrt{x^2-x-14}=x+2$;
б) $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}=7$.

5. Решите систему уравнений:
$\sqrt{x}-\sqrt{y}=2$, $\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$.
Вариант 2

6. Представьте выражение $\sqrt[4]{m^3}$ в виде степени с рациональным показателем: [варианты ответа частично неразборчивы].

7. Вычислите: а) $125^{\frac{1}{3}}-\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}$; б) $81^{0,75}-\left(\frac{1}{16}\right)^{-0,25}$.

8. Упростите выражение: а) $\left(a^{\frac{1}{2}}-3\right)^2+6a^{\frac{1}{2}}$; б) $\frac{a^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}}}$.

9. Решите уравнения:
а) $\sqrt{4x^2+7x+2}=2x-1$;
б) $\sqrt{2x+5}+\sqrt{x-1}=8$.

10. Решите систему уравнений:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=6$, $x-y=12$.

Answer

На фото два варианта — ниже решения для обоих. Я проверил корни и системы подстановкой.

Вариант 1 — краткие ответы

1. а) $b^{4/9}$.

2. а) $-1$; б) $24$.

3. а) $4a^{1/4}b^{1/4}$; б) $a-1$.

4. а) корней нет; б) $6$.

5. $(9;1)$.

Вариант 2 — краткие ответы

1. $m^{3/4}$.

2. а) $3$; б) $25$.

3. а) $a+9$; б) $a^{-1/4}-a^{-1/2}$.

4. а) корней нет; б) $10$.

5. $(16;4)$.

Как это получается

1. Корень переводится в степень по правилу
$$
\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}.
$$
Поэтому $\sqrt[9]{b^4}=b^{4/9}$, а $\sqrt[4]{m^3}=m^{3/4}$.

2. Отрицательный показатель:
$$
a^{-r}=\frac{1}{a^r},\qquad \left(\frac{1}{a}\right)^{-r}=a^r.
$$
В варианте 1:
$$
27^{1/3}=3,\quad \left(\frac12\right)^{-2}=4 \Rightarrow 3-4=-1;
$$
$$
81^{3/4}=27,\quad \left(\frac19\right)^{-0{,}5}=3 \Rightarrow 27-3=24.
$$
В варианте 2:
$$
125^{1/3}=5,\quad \left(\frac18\right)^{-1/3}=2 \Rightarrow 3;
$$
$$
81^{0{,}75}=27,\quad \left(\frac1{16}\right)^{-0{,}25}=2 \Rightarrow 25.
$$

3. Для пункта 3а удобно применить формулу
$$
(x+y)^2-(x-y)^2=4xy.
$$
Тогда в варианте 1:
$$
4a^{1/4}b^{1/4}.
$$
В варианте 1, 3б:
$$
\frac{a^{1/2}-a^{-1/2}}{a^{-1/2}}
=a^{1/2-(-1/2)}-a^{-1/2-(-1/2)}
=a-1.
$$
В варианте 2:
$$
(a^{1/2}-3)^2+6a^{1/2}=a-6a^{1/2}+9+6a^{1/2}=a+9,
$$
$$
\frac{a^{1/2}-a^{1/4}}{a^{3/4}}
=a^{-1/4}-a^{-1/2}.
$$

4. При решении уравнений с корнями после возведения в квадрат обязательно проверяем корни: правая часть должна быть неотрицательной.

В варианте 1:
$$
\sqrt{x^2-x-14}=x+2
$$
после возведения даёт $x=-18/5$, но тогда $x+2<0$, поэтому корня нет.
$$
\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}=7
$$
даёт $x=6$; проверка: $3+4=7$.

В варианте 2:
$$
\sqrt{4x^2+7x+2}=2x-1
$$
после возведения даёт $x=-1/11$, но $2x-1<0$, поэтому корня нет.
$$
\sqrt{2x+5}+\sqrt{x-1}=8
$$
даёт $x=10$; проверка: $5+3=8$.

5. В системах удобно обозначить $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{y}$.

Вариант 1:
$$
u-v=2,\quad u+v=4 \Rightarrow u=3,\ v=1.
$$
Значит $x=9,\ y=1$.

Вариант 2:
$$
u+v=6,\quad x-y=u^2-v^2=(u-v)(u+v)=12.
$$
Отсюда $u-v=2$, значит $u=4,\ v=2$; $x=16,\ y=4$.