Как найти где Касательная параллельная оси абцисс или совпадает с ней
Кратко: нужно найти точки, где производная равна нулю: \[ f'(x)=0. \] В таких точках угловой коэффициент касательной \(k=f'(x_0)=0\), значит, касательная горизонтальна — параллельна оси \(Ox\).
Порядок действий
- Найти производную \(f'(x)\).
- Решить уравнение \[ f'(x)=0. \]
- Подставить найденные \(x_0\) в функцию и записать точки графика: \[ (x_0;\;f(x_0)). \]
- Проверить: уравнение касательной в такой точке имеет вид \[ y=f(x_0). \] Это горизонтальная прямая, то есть она параллельна оси абсцисс.
Если касательная должна совпадать с осью \(Ox\)
Ось абсцисс — это прямая \(y=0\). Значит, должно быть одновременно: \[ \begin{cases} f'(x_0)=0,\\ f(x_0)=0. \end{cases} \] То есть касательная горизонтальна и проходит через точку оси \(Ox\).
Если в задании написано «параллельна оси абсцисс или совпадает с ней», то достаточно решить \(f'(x)=0\): совпадающие касательные — частный случай горизонтальных. А чтобы отдельно указать, какие из них совпадают с осью, проверь у найденных точек условие \(f(x_0)=0\).
Пример. Для \(f(x)=x^2\): \[ f'(x)=2x,\qquad 2x=0 \Rightarrow x_0=0. \] При этом \(f(0)=0\), значит, в точке \((0;0)\) касательная не просто параллельна оси \(Ox\), а совпадает с ней: \(y=0\).
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни понятнее
Давай совсем просто.
Главная идея
Ось абсцисс — это горизонтальная ось \(x\). Значит, касательная, параллельная ей, тоже должна быть горизонтальной. А горизонтальная прямая не поднимается и не опускается — её наклон равен нулю.
Наклон касательной в точке показывает производная. Поэтому:
\[ f'(x)=0. \]
То есть надо найти точки, где производная равна нулю. Это вершины «горок» и «впадин» графика.
Как это выглядит на практике
- Берём функцию и находим её производную.
- Приравниваем производную к нулю: \[ f'(x)=0. \]
- Находим \(x\).
- Подставляем этот \(x\) в исходную функцию — получаем \(y\). Записываем точку \((x;y)\).
Пример 1
\[ f(x)=x^2+1. \]
Производная: \[ f'(x)=2x. \]
Приравниваем к нулю: \[ 2x=0 \Rightarrow x=0. \]
Тогда \[ f(0)=1. \]
Точка касания — \((0;1)\). Касательная здесь — прямая \(y=1\). Она горизонтальна, то есть параллельна оси абсцисс, но лежит выше неё.
Пример 2
\[ f(x)=x^2. \]
Производная тоже \(2x\), значит \(x=0\). Но теперь \[ f(0)=0. \]
Точка касания — \((0;0)\), касательная — прямая \(y=0\). Это и есть сама ось абсцисс. Значит, здесь касательная совпадает с осью.
Чем отличаются два случая
- Касательная параллельна оси \(Ox\): она горизонтальна, но может быть выше или ниже оси. Достаточно \(f'(x)=0\).
- Касательная совпадает с осью \(Ox\): она горизонтальна и проходит через ось, то есть её высота равна нулю. Нужно ещё, чтобы \(f(x)=0\).
Коротко: \[ \text{параллельна: } f'(x)=0; \qquad \text{совпадает: } f'(x)=0 \text{ и } f(x)=0. \]
Если в задании сказано «параллельна или совпадает», решай \(f'(x)=0\) — этого достаточно. А чтобы понять, какие из найденных касательных совпадают с осью, проверь, равно ли \(f(x)\) нулю в этих точках.
