Перед Вами список функций являющихся четными, нечётными или функциями общего вида, произведите классификацию предложенных функций
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задание для учеников: Перед Вами список функций являющихся четными, нечётными или функциями общего вида, произведите классификацию предложенных функций
\(y = x^4 - x^2\); \(y = x^3 + x^4\) \(y = x^2 + x^3\);
\(y = x^3 - x^2\)
\(y = x^3 - 5\);
\(y = x^4 - x^2\);
\(y = x^3 - x\);
\(y = 2x - 4\)
\(y = 4x^3 + 7x\)
\(y = 16x^6 - 3x^4\)
\(y = (x-2)^2 + (x+2)^2\)
\(y = x^2 - x + 6\)
\(y = x - 2|x|\)
\(y = 5x^2 + 7|x|\)
\(y = \sqrt[3]{|x|} + 3\)
Таблица: Четные функции | Нечетные функции | Функции общего вида
Краткий ответ — заполненная таблица:
| Чётные функции | Нечётные функции | Функции общего вида |
|---|---|---|
| 1, 6, 10, 11, 14, 15 | 7, 9 | 2, 3, 4, 5, 8, 12, 13 |
Подробная проверка:
| № | Функция | Тип |
|---|---|---|
| 1 | \(y=x^{4}-x^{2}\) | чётная |
| 2 | \(y=x^{3}+x^{4}\) | общего вида |
| 3 | \(y=x^{2}+x^{3}\) | общего вида |
| 4 | \(y=x^{3}-x^{2}\) | общего вида |
| 5 | \(y=x^{3}-5\) | общего вида |
| 6 | \(y=x^{4}-x^{2}\) | чётная |
| 7 | \(y=x^{3}-x\) | нечётная |
| 8 | \(y=2x-4\) | общего вида |
| 9 | \(y=4x^{3}+7x\) | нечётная |
| 10 | \(y=16x^{6}-3x^{4}\) | чётная |
| 11 | \(y=(x-2)^{2}+(x+2)^{2}\) | чётная |
| 12 | \(y=x^{2}-x+6\) | общего вида |
| 13 | \(y=x-2\lvert x\rvert\) | общего вида |
| 14 | \(y=5x^{2}+7\lvert x\rvert\) | чётная |
| 15 | \(y=\sqrt[3]{\lvert x\rvert}+3\) | чётная |
На фото у двух строк после №1 номера 2 и 3 не пропечатаны — я пронумеровал их по порядку.
Как рассуждать
Проверяем \(f(-x)\):
- если \(f(-x)=f(x)\) — функция чётная;
- если \(f(-x)=-f(x)\) — функция нечётная;
- если не выполняется ни то, ни другое — функция общего вида.
Например:
\[ f(x)=x^{3}-x \]
\[ f(-x)=(-x)^{3}-(-x)=-x^{3}+x=-(x^{3}-x)=-f(x) \]
Значит, №7 — нечётная.
А для №5:
\[ f(-x)=(-x)^{3}-5=-x^{3}-5 \]
Это не равно ни \(f(x)=x^{3}-5\), ни \(-f(x)=-x^{3}+5\), поэтому функция общего вида.
№11:
\[ (x-2)^{2}+(x+2)^{2}=2x^{2}+8 \]
Остались только чётная степень и число, поэтому функция чётная.
Для №13 можно взять конкретные значения:
\[ f(1)=1-2=-1,\qquad f(-1)=-1-2=-3 \]
Но \(f(1)\ne f(-1)\), значит, функция не чётная; и \(f(-1)\ne -f(1)\), значит, не нечётная. Это функция общего вида.
Проверка: чётных — 6, нечётных — 2, общего вида — 7; всего \(6+2+7=15\), все пункты учтены.
Обсуждение
2 сообщенияПолное решение со всеми действиями
Ниже — полное решение. Нумерацию сохраняю как в предыдущем разборе. Для каждой функции подставляю \(-x\) и сравниваю результат с \(f(x)\) и \(-f(x)\).
Все эти функции определены при всех \(x\in\mathbb R\), то есть область определения симметрична относительно нуля, поэтому проверять чётность/нечётность можно обычным способом:
\[ f(-x)=f(x)\Rightarrow \text{чётная},\qquad f(-x)=-f(x)\Rightarrow \text{нечётная}. \]
Если не выполняется ни одно равенство, функция общего вида, то есть ни чётная, ни нечётная.
1. \(f(x)=x^{4}-x^{2}\)
\[ f(-x)=(-x)^{4}-(-x)^{2}=x^{4}-x^{2}=f(x) \]
Функция чётная.
2. \(f(x)=x^{3}+x^{4}\)
\[ f(-x)=(-x)^{3}+(-x)^{4}=-x^{3}+x^{4}=x^{4}-x^{3} \]
При этом
\[ f(x)=x^{4}+x^{3},\qquad -f(x)=-x^{4}-x^{3}. \]
Например, при \(x=1\):
\[ f(1)=2,\qquad f(-1)=0,\qquad -f(1)=-2. \]
Так как \(f(-1)\ne f(1)\) и \(f(-1)\ne -f(1)\), функция общего вида.
3. \(f(x)=x^{2}+x^{3}\)
\[ f(-x)=(-x)^{2}+(-x)^{3}=x^{2}-x^{3} \]
При \(x=1\):
\[ f(1)=2,\qquad f(-1)=0,\qquad -f(1)=-2. \]
Значит, функция общего вида.
4. \(f(x)=x^{3}-x^{2}\)
\[ f(-x)=(-x)^{3}-(-x)^{2}=-x^{3}-x^{2} \]
При \(x=1\):
\[ f(1)=0,\qquad f(-1)=-2,\qquad -f(1)=0. \]
\(f(-1)\ne f(1)\) и \(f(-1)\ne -f(1)\), поэтому функция общего вида.
5. \(f(x)=x^{3}-5\)
\[ f(-x)=(-x)^{3}-5=-x^{3}-5 \]
Сравним:
\[ f(x)=x^{3}-5,\qquad -f(x)=-x^{3}+5. \]
При \(x=1\):
\[ f(1)=-4,\qquad f(-1)=-6,\qquad -f(1)=4. \]
Функция общего вида.
6. \(f(x)=x^{4}-x^{2}\)
\[ f(-x)=(-x)^{4}-(-x)^{2}=x^{4}-x^{2}=f(x) \]
Функция чётная.
7. \(f(x)=x^{3}-x\)
\[ f(-x)=(-x)^{3}-(-x)=-x^{3}+x=-(x^{3}-x)=-f(x) \]
Функция нечётная.
8. \(f(x)=2x-4\)
\[ f(-x)=2(-x)-4=-2x-4 \]
При \(x=1\):
\[ f(1)=-2,\qquad f(-1)=-6,\qquad -f(1)=2. \]
\(f(-1)\ne f(1)\) и \(f(-1)\ne -f(1)\), значит, функция общего вида.
9. \(f(x)=4x^{3}+7x\)
\[ f(-x)=4(-x)^{3}+7(-x)=-4x^{3}-7x=-(4x^{3}+7x)=-f(x) \]
Функция нечётная.
10. \(f(x)=16x^{6}-3x^{4}\)
\[ f(-x)=16(-x)^{6}-3(-x)^{4}=16x^{6}-3x^{4}=f(x) \]
Функция чётная.
11. \(f(x)=(x-2)^{2}+(x+2)^{2}\)
Сначала раскроем скобки:
\[ (x-2)^{2}+(x+2)^{2}=x^{2}-4x+4+x^{2}+4x+4=2x^{2}+8. \]
Тогда
\[ f(-x)=2(-x)^{2}+8=2x^{2}+8=f(x). \]
Функция чётная.
12. \(f(x)=x^{2}-x+6\)
\[ f(-x)=(-x)^{2}-(-x)+6=x^{2}+x+6 \]
При \(x=1\):
\[ f(1)=6,\qquad f(-1)=8,\qquad -f(1)=-6. \]
Функция общего вида.
13. \(f(x)=x-2|x|\)
\[ f(-x)=-x-2|-x|=-x-2|x| \]
Так как \(|-x|=|x|\). Проверим, например, при \(x=1\):
\[ f(1)=1-2=-1, \]
\[ f(-1)=-1-2=-3, \]
\[ -f(1)=1. \]
\(f(-1)\ne f(1)\), значит, функция не чётная.
\(f(-1)\ne -f(1)\), значит, функция не нечётная.
Это функция общего вида.
14. \(f(x)=5x^{2}+7|x|\)
\[ f(-x)=5(-x)^{2}+7|-x|=5x^{2}+7|x|=f(x) \]
Функция чётная.
15. \(f(x)=\sqrt[3]{|x|}+3\)
\[ f(-x)=\sqrt[3]{|-x|}+3=\sqrt[3]{|x|}+3=f(x) \]
Функция чётная.
Ответ
Чётные функции:
1, 6, 10, 11, 14, 15.
Нечётные функции:
7, 9.
Функции общего вида:
2, 3, 4, 5, 8, 12, 13.
Проверка количества: \(6+2+7=15\), то есть все 15 функций учтены.
