Можно найти в обоих задачах площадь
Сверь числа и знаки с фото.
7 [Рисунок: параллелограмм ABCD, вершина A — вверху слева, B — вверху справа, C — внизу справа, D — внизу слева; на сторонах AB и BC по одной одинаковой штриховой отметке; угол при вершине B отмечен дугой с подписью 150°] P = 48
8 [Рисунок: параллелограмм ABCD, B — вверху слева, C — вверху справа, A — внизу слева, D — внизу справа; над стороной BC подпись 12,5; проведена диагональ AC с подписью 18; угол между BC и AC при вершине C отмечен дугой с подписью 30°]
Коротко: площадь в задаче 7 равна 72, в задаче 8 — 112,5.
Задача 7
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(P = 48\), \(\angle ABC = 150^\circ\); на сторонах \(AB\) и \(BC\) стоят одинаковые штрихи, значит \(AB = BC\).
- У параллелограмма противоположные стороны равны. Если равны соседние стороны, то равны все четыре — это ромб, и его сторона \(48 : 4 = 12\).
- Площадь параллелограмма: \(S = ab\sin\alpha\), где \(a, b\) — соседние стороны, \(\alpha\) — угол между ними (здесь это угол при вершине \(B\)).
\[S = 12\cdot 12\cdot \sin 150^\circ = 144\cdot 0{,}5 = 72\]
Проверка: \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = 0{,}5\), поэтому площадь вдвое меньше \(12\cdot12=144\), то есть 72. Сходится.
Задача 8
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(BC = 12{,}5\), диагональ \(AC = 18\), \(\angle BCA = 30^\circ\).
Способ 1 — через высоту. Высота из \(A\) к прямой \(BC\): \[h = AC\cdot\sin 30^\circ = 18\cdot 0{,}5 = 9\] \[S = BC\cdot h = 12{,}5\cdot 9 = 112{,}5\]
Способ 2 — через треугольник. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника: \[S = 2\cdot S_{ABC} = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot\sin 30^\circ = 12{,}5\cdot 18\cdot 0{,}5 = 112{,}5\]
Проверка: площадь треугольника \(ABC\) равна \(56{,}25\), удвоение даёт \(112{,}5\); данные (две стороны и угол между ними) задают треугольник однозначно, противоречий нет.
Принцип для похожих заданий
Если в параллелограмме (или ромбе) известны две стороны и угол между ними — считай через синус: \(S = ab\sin\alpha\). Если вместо стороны дана диагональ с углом к стороне — сначала найди высоту \(h = d\sin\alpha\), а потом \(S = a\cdot h\). Диагональ удобно использовать и так: она разбивает фигуру на два равных треугольника, и площадь фигуры — удвоенная площадь треугольника.
Обсуждение
4 сообщенияСинусы и косинуса мы ещё не проходили
Синусы и косинуса мы ещё не проходили
Хорошо, тогда решим через свойство катета, лежащего против угла \(30^\circ\) (он равен половине гипотенузы) — никаких синусов не нужно. Ответы те же: 72 и 112,5.
Задача 7
Ромб со стороной \(12\), \(\angle ABC = 150^\circ\).
- Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), поэтому \[\angle BAD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\]
- Проведём высоту \(BH\) из вершины \(B\) на сторону \(AD\). Получился прямоугольный треугольник \(ABH\) с гипотенузой \(AB = 12\) и углом \(A = 30^\circ\). Катет \(BH\) лежит против этого угла: \[BH = \frac{AB}{2} = 6\]
- Площадь: \[S = AD\cdot BH = 12\cdot 6 = 72\]
Проверка: высота 6 — это половина стороны, значит ромб «низкий», и площадь \(12\cdot 6 = 72\) меньше \(144 = 12\cdot12\). Логично.
Задача 8
Параллелограмм, \(BC = 12{,}5\), \(AC = 18\), \(\angle BCA = 30^\circ\).
- Опустим высоту \(AH\) из \(A\) на прямую \(BC\). В прямоугольном треугольнике \(AHC\) гипотенуза \(AC = 18\), а угол при вершине \(C\) равен \(30^\circ\). Катет \(AH\) лежит против этого угла: \[AH = \frac{AC}{2} = 9\]
- Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту к ней: \[S = BC\cdot AH = 12{,}5\cdot 9 = 112{,}5\]
Проверка: \(12{,}5\cdot 9 = 112{,}5\), и высота \(9\) действительно меньше диагонали \(18\) — всё согласуется.
Принцип для похожих задач
- Угол \(150^\circ\) в параллелограмме всегда «превращается» в \(30^\circ\) у соседней вершины — работай с острым углом.
- Опусти высоту так, чтобы в прямоугольном треугольнике оказался угол \(30^\circ\), и бери катет \(=\frac{\text{гипотенуза}}{2}\).
- Дальше просто \(S = \text{сторона}\cdot\text{высота к ней}\).
Понял — решаем без синусов. Ответы не изменятся: площадь в задаче 7 равна 72, в задаче 8 — 112,5. Работать будем через высоту и свойство угла \(30^\circ\).
Нужное свойство
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
Оно нам подходит, потому что в обеих задачах после проведения высоты появляется прямоугольный треугольник с углом \(30^\circ\).
Задача 7
- Штрихи показывают, что \(AB = BC\). У параллелограмма противоположные стороны равны, значит все четыре стороны по \(12\) — это ромб, периметр \(48\).
- Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), поэтому \[\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\]
- Проведём высоту \(BH\) из вершины \(B\) на сторону \(AD\). Получился прямоугольный треугольник \(ABH\): гипотенуза \(AB = 12\), а угол \(A = 30^\circ\) лежит против катета \(BH\). По свойству: \[BH = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6\]
- Площадь ромба — сторона умножить на высоту: \[S = AD \cdot BH = 12 \cdot 6 = 72\]
Проверка: высота 6 — это ровно половина стороны 12, как и должно быть при угле \(30^\circ\). Площадь 72.
Задача 8
- Проведём высоту \(AH\) из вершины \(A\) к стороне \(BC\). Треугольник \(AHC\) прямоугольный, угол \(H = 90^\circ\), угол \(C = 30^\circ\) по условию, гипотенуза \(AC = 18\).
- Катет \(AH\) лежит против угла \(30^\circ\), значит \[AH = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9\]
- Площадь параллелограмма — сторона умножить на высоту, проведённую к ней: \[S = BC \cdot AH = 12{,}5 \cdot 9 = 112{,}5\]
Проверка: \(12{,}5 \cdot 9 = 12{,}5 \cdot 10 - 12{,}5 = 125 - 12{,}5 = 112{,}5\). Сходится.
Как действовать в похожих задачах без тригонометрии
- Ищешь в фигуре угол \(30^\circ\) (или получаешь его как \(180^\circ - 150^\circ\)) — проводишь высоту так, чтобы она стала катетом против этого угла.
- Дальше просто делишь гипотенузу пополам — это и есть высота.
- Площадь параллелограмма или ромба: \(S = \text{сторона} \cdot \text{высота к ней}\).
Если угол не \(30^\circ\), а, например, \(45^\circ\) или \(60^\circ\), без синусов уже не обойтись — тогда либо жди этой темы, либо используй особые прямоугольные треугольники, если они были в программе.
