532. Решите уравнение: а) 3x² - 7x + 4 = 0; б) 5x² - 8x + 3 = 0; в) 3x² - 13x + 14 = 0; г) 2y² - 9y + 10 = 0

Ответ для № 532 (а–г):
а) \(x_1=\frac{4}{3},\ x_2=1\);
б) \(x_1=1,\ x_2=\frac{3}{5}\);
в) \(x_1=\frac{7}{3},\ x_2=2\);
г) \(y_1=\frac{5}{2}=2{,}5,\ y_2=2\).

На фото несколько номеров, но я взял № 532: он выделен, и его левая колонка видна полностью. Правый столбец этого номера (пункты д–з) обрезан, поэтому по фото их не решить.

Как решаются такие уравнения

Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\):

\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]

Если \(D>0\), корней два; если \(D=0\), корень один; если \(D<0\), действительных корней нет.

а) \(3x^2-7x+4=0\), здесь \(a=3,\ b=-7,\ c=4\).

\[ D=(-7)^2-4\cdot3\cdot4=49-48=1, \]

\[ x_{1,2}=\frac{7\pm1}{6},\qquad x_1=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},\quad x_2=\frac{6}{6}=1. \]

б) \(5x^2-8x+3=0\), здесь \(a=5,\ b=-8,\ c=3\).

\[ D=(-8)^2-4\cdot5\cdot3=64-60=4, \]

\[ x_{1,2}=\frac{8\pm2}{10},\qquad x_1=\frac{10}{10}=1,\quad x_2=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}. \]

в) \(3x^2-13x+14=0\), здесь \(a=3,\ b=-13,\ c=14\).

\[ D=(-13)^2-4\cdot3\cdot14=169-168=1, \]

\[ x_{1,2}=\frac{13\pm1}{6},\qquad x_1=\frac{14}{6}=\frac{7}{3},\quad x_2=\frac{12}{6}=2. \]

г) \(2y^2-9y+10=0\), здесь \(a=2,\ b=-9,\ c=10\).

\[ D=(-9)^2-4\cdot2\cdot10=81-80=1, \]

\[ y_{1,2}=\frac{9\pm1}{4},\qquad y_1=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2{,}5,\quad y_2=\frac{8}{4}=2. \]

Во всех четырёх уравнениях дискриминант оказался равен \(1\), поэтому корни рациональные.

Проверка по теореме Виета.
Суммы корней соответственно равны \(\frac{7}{3},\ \frac{8}{5},\ \frac{13}{3},\ \frac{9}{2}\), а произведения — \(\frac{4}{3},\ \frac{3}{5},\ \frac{14}{3},\ 5\). Это совпадает с \(-b/a\) и \(c/a\), значит корни найдены верно.

Если нужен другой номер, напиши его — правые столбцы на фото обрезаны.