531. Вычислите дискриминант и число его корней: а) 2x² + 3x + 1 = 0; б) 2x² + x + 2 = 0;
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вычислите дискриминант и число его корней: а) \(2x^{2}+3x+1=0\); б) \(2x^{2}+x+2=0\);
Решите уравнение: а) \(3x^{2}-7x+4=0\); б) \(5x^{2}-8x+3=0\); в) \(3x^{2}-13x+14=0\); г) \(2y^{2}-9y+10=0\);
Решите уравнение: а) \(14x^{2}-5x-1=0\); б) \(-y^{2}+3y+5=0\); в) \(2x^{2}+x+67=0\);
Найдите корни уравнения: а) \(5x^{2}-11x+2=0\); б) \(2p^{2}+7p-30=0\); в) \(9y^{2}-30y+25=0\);
При каких значениях \(x\): а) трёхчлен \(x^{2}-11x+3\) [обрезано] б) значения многочленов [обрезано]
На фото несколько заданий. Полностью видны № 531–534; у № 535 обрезана правая часть условия, поэтому его без полного кадра не решаю.
Краткий ответ
| Задание | \(D\) | Корни / вывод |
|---|---|---|
| 531 а) \(2x^2+3x+1=0\) | \(1\) | \(D>0\), два корня |
| 531 б) \(2x^2+x+2=0\) | \(-15\) | \(D<0\), действительных корней нет |
| 532 а) \(3x^2-7x+4=0\) | \(1\) | \(x=1;\ \frac43\) |
| 532 б) \(5x^2-8x+3=0\) | \(4\) | \(x=1;\ \frac35\) |
| 532 в) \(3x^2-13x+14=0\) | \(1\) | \(x=2;\ \frac73\) |
| 532 г) \(2y^2-9y+10=0\) | \(1\) | \(y=2;\ \frac52\) |
| 533 а) \(14x^2-5x-1=0\) | \(81\) | \(x=\frac12;\ -\frac17\) |
| 533 б) \(-y^2+3y+5=0\) | \(29\) | \(y=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}\) |
| 533 в) \(2x^2+x+67=0\) | \(-535\) | действительных корней нет |
| 534 а) \(5x^2-11x+2=0\) | \(81\) | \(x=2;\ \frac15\) |
| 534 б) \(2p^2+7p-30=0\) | \(289\) | \(p=\frac52;\ -6\) |
| 534 в) \(9y^2-30y+25=0\) | \(0\) | \(y=\frac53\) — один корень кратности \(2\) |
В № 531 а) сами корни, если понадобятся: \(-1\) и \(-\frac12\).
Как это получается
Для квадратного уравнения
\[ ax^2+bx+c=0 \]
сначала вычисляют дискриминант:
\[ D=b^2-4ac. \]
Дальше:
- если \(D>0\), корней два: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}; \]
- если \(D=0\), корень один: \[ x=-\frac{b}{2a}; \]
- если \(D<0\), действительных корней нет.
Например, в 532 а):
\[ a=3,\quad b=-7,\quad c=4. \]
\[ D=(-7)^2-4\cdot3\cdot4=49-48=1. \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm1}{6}, \]
поэтому
\[ x_1=\frac43,\qquad x_2=1. \]
В 533 б) удобно умножить уравнение на \(-1\):
\[ y^2-3y-5=0. \]
Тогда
\[ D=9+20=29,\qquad y=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}. \]
В 534 в) дискриминант равен нулю:
\[ D=900-900=0, \]
поэтому корень один:
\[ y=\frac{30}{18}=\frac53. \]
Проверка: \(9y^2-30y+25=(3y-5)^2\), значит \(y=\frac53\) действительно корень.
Небольшое уточнение: в 533 в) по фото коэффициент читается как \(67\). Если в книге там \(6\), получится \(D=-47\), но вывод тот же — действительных корней нет.
