22 Постройте график функции y = ((x+1)(x² − 4))/(x² − x − 2). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Краткий ответ: график функции — это прямая
\[ y=x+2 \] с двумя выколотыми точками: \((-1;\,1)\) и \((2;\,4)\).

Прямая \(y=kx\) не имеет с этим графиком общих точек при \[ k\in\{-1;\,1;\,2\}. \]

Как это понять

1. Разложим числитель и знаменатель: \[ x^2-4=(x-2)(x+2), \] \[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]

Поэтому при \(x\neq -1\) и \(x\neq 2\): \[ y=\frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=x+2. \]

Но исходная функция не определена при \(x=-1\) и \(x=2\). Значит, на прямой \(y=x+2\) нужно «выколоть» точки: \[ (-1;\,1),\qquad (2;\,4). \]

2. Ищем общие точки с прямой \(y=kx\): \[ kx=x+2, \] \[ (k-1)x=2. \]

• Если \(k=1\), получаем \(0\cdot x=2\), решений нет. Прямые \(y=x\) и \(y=x+2\) параллельны.
• Если \(k\neq 1\), то \[ x=\frac{2}{k-1}. \]

Формально точка пересечения есть всегда, кроме случаев, когда она попадает в выколотую точку.

Для выколотой точки \(x=2\): \[ \frac{2}{k-1}=2 \quad\Rightarrow\quad k=2. \]

Для выколотой точки \(x=-1\): \[ \frac{2}{k-1}=-1 \quad\Rightarrow\quad k=-1. \]

При \(k=2\) прямая проходит через выколотую точку \((2;4)\), при \(k=-1\) — через выколотую точку \((-1;1)\). Поэтому общих точек с графиком у неё нет.

Проверка: например, при \(k=3\) точка пересечения \(x=1,\ y=3\) не выколота, значит, общая точка есть. А при \(k=1\) прямая параллельна графику.