12.8. Имеется ли в последовательности, заданной формулой n-го члена: 1) aₙ = 37 - 2n член, равный 17;
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
12.8. Имеется ли в последовательности, заданной формулой n-го члена:
- \(a_n = 37 - 2n\) член, равный 17;
- \(a_n = 49 - 3n\) член, равный -7;
- \(a_n = 3n - 2n^2\) член, равный -104;
- \(a_n = \frac{4n+3}{n+1}\) член, равный 13?
12.9. Какие формулы n-го члена задают: а) возрастающие; б) убывающие числовые последовательности:
- \(a_n = 3n - 7\);
- \(a_n = n^2 - 8\);
- \(a_n = 3\sqrt{n} + 4\);
- \(a_n = 1 + \frac{1}{n}\);
- \(a_n = 1 - \frac{1}{n+1}\);
- \(a_n = 1 + \frac{2}{2n+1}\)?
12.10. Напишите первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой:
- \(a_n = (-1)^n \cdot 2\);
- \(a_n = (-1)^n \cdot 2 + 2\);
- \(a_n = \frac{1+(-1)^n}{2}\);
- \(a_n = n^2 + (-1)^n n\);
- \(a_n = 2n + 1\);
- \(a_n = (-1)^n n^2 - 3n\);
На фото номера 12.8–12.10. Решу их по порядку.
Краткие ответы
12.8
- да, \(a_{10}=17\);
- нет;
- да, \(a_8=-104\);
- нет.
12.9
Возрастающие: 1, 2, 3, 5. Убывающие: 4, 6.
12.10
| № | Первые пять членов |
|---|---|
| 1 | \(-2,\ 2,\ -2,\ 2,\ -2\) |
| 2 | \(0,\ 4,\ 0,\ 4,\ 0\) |
| 3 | \(0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0\) |
| 4 | \(0,\ 6,\ 6,\ 20,\ 20\) |
| 5 | \(3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11\) |
| 6 | \(-4,\ -2,\ -18,\ 4,\ -40\) |
Как это получается
12.8
Нужно решить уравнение \(a_n=c\) относительно натурального \(n\).
\[ 37-2n=17 \Rightarrow 2n=20 \Rightarrow n=10 \] Значит, такой член есть: \(a_{10}=17\).
\[ 49-3n=-7 \Rightarrow 3n=56 \Rightarrow n=\frac{56}{3} \] Это не натуральное число, поэтому члена, равного \(-7\), нет.
\[ 3n-2n^2=-104 \] \[ 2n^2-3n-104=0 \] \[ D=9+832=841=29^2 \] \[ n=\frac{3\pm29}{4} \] Подходит \(n=8\). Значит, \(a_8=-104\).
\[ \frac{4n+3}{n+1}=13 \] \[ 4n+3=13n+13 \] \[ -9n=10 \Rightarrow n=-\frac{10}{9} \] Не натуральное число, поэтому члена, равного \(13\), нет.
12.9
Чтобы проверить монотонность, смотрим на разность \[ a_{n+1}-a_n. \] Если она положительна — последовательность возрастает, если отрицательна — убывает.
| № | \(a_{n+1}-a_n\) | Вывод |
|---|---|---|
| 1 | \(3>0\) | возрастает |
| 2 | \(2n+1>0\) | возрастает |
| 3 | \(3(\sqrt{n+1}-\sqrt n)>0\) | возрастает |
| 4 | \(-\frac{1}{n(n+1)}<0\) | убывает |
| 5 | \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0\) | возрастает |
| 6 | \(-\frac{4}{(2n+1)(2n+3)}<0\) | убывает |
Поэтому:
- возрастающие: 1, 2, 3, 5;
- убывающие: 4, 6.
12.10
Нужно подставить \(n=1,2,3,4,5\).
Например, для 4): \[ a_n=n^2+(-1)^n n \] \[ a_1=1-1=0,\quad a_2=4+2=6,\quad a_3=9-3=6, \] \[ a_4=16+4=20,\quad a_5=25-5=20. \]
Остальные номера считаются так же — подстановкой \(n=1,2,3,4,5\). Меняются только чередующиеся знаки из-за \((-1)^n\).
