реши мне правильно как нужно 8, 11, и 14 а и б
Сверь числа и знаки с фото.
11.— Упростите выражение: а) \(\frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta}\); б) \(\frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha}\); в) \(\frac{\sqrt{2}\cos\alpha-2\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)}{2\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)-\sqrt{2}\sin\alpha}\); г) \(\mathrm{ctg}^{2}\alpha(1-\cos2\alpha)+\cos^{2}\alpha\). 14.— Верно ли равенство: а) \(\sin\frac{7\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}\); б) \(\cos\frac{11\pi}{24}-\cos\frac{\pi}{8}=-\sin\frac{7\pi}{24}\).
11.— Упростите выражение: а) \(\frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta}\); б) \(\frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha}\); в) \(\frac{\sqrt{2}\cos\alpha-2\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)}{2\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)-\sqrt{2}\sin\alpha}\); г) \(\mathrm{ctg}^{2}\alpha(1-\cos2\alpha)+\cos^{2}\alpha\). 14.— Верно ли равенство: а) \(\sin\frac{7\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}\); б) \(\cos\frac{11\pi}{24}-\cos\frac{\pi}{8}=-\sin\frac{7\pi}{24}\).
8.— Упростите выражение: а) \(\cos^{2}\alpha-\cos^{4}\alpha+\sin^{4}\alpha\); б) \(\frac{1-2\cos^{2}\beta}{\cos\beta+\sin\beta}\); в) \((\sin^{2}\alpha+\mathrm{tg}^{2}\alpha\sin^{2}\alpha)\mathrm{ctg}\alpha\); г) \(\frac{\sin^{2}t-1}{\cos^{4}t}+\mathrm{tg}^{2}t\).
Кратко
а) \(\sin^{2}\alpha\); б) \(\sin\beta-\cos\beta\); в) \(\operatorname{tg}\alpha\); г) \(-1\).
а) \(\operatorname{tg}(\alpha+\beta)\); б) \(\operatorname{ctg}\alpha\); в) \(\operatorname{tg}\alpha\); г) \(3\cos^{2}\alpha\).
а) верно; б) верно.
Все преобразования — при значениях переменных, при которых исходные выражения определены.
8. Упростите выражение
а) \[ \cos^2\alpha-\cos^4\alpha+\sin^4\alpha =\cos^2\alpha(1-\cos^2\alpha)+\sin^4\alpha =\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^4\alpha \] \[ =\sin^2\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\sin^2\alpha. \]
б) \[ \frac{1-2\cos^2\beta}{\cos\beta+\sin\beta} =\frac{\sin^2\beta-\cos^2\beta}{\cos\beta+\sin\beta} =\frac{(\sin\beta-\cos\beta)(\sin\beta+\cos\beta)}{\cos\beta+\sin\beta} =\sin\beta-\cos\beta. \]
в) \[ (\sin^2\alpha+\operatorname{tg}^2\alpha\sin^2\alpha)\operatorname{ctg}\alpha =\sin^2\alpha(1+\operatorname{tg}^2\alpha)\operatorname{ctg}\alpha =\sin^2\alpha\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\operatorname{tg}\alpha. \]
г) \[ \frac{\sin^2t-1}{\cos^4t}+\operatorname{tg}^2t =\frac{-\cos^2t}{\cos^4t}+\frac{\sin^2t}{\cos^2t} =-\frac{1}{\cos^2t}+\frac{\sin^2t}{\cos^2t} =\frac{\sin^2t-1}{\cos^2t} =-1. \]
11. Упростите выражение
а) \[ \frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta} =\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} =\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} =\operatorname{tg}(\alpha+\beta). \]
б) \[ \frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha} =\frac{2\cos^2\alpha-\cos\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha-\sin\alpha} =\frac{\cos\alpha(2\cos\alpha-1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)} =\operatorname{ctg}\alpha. \]
в) Используем: \[ 2\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\sqrt2(\cos\alpha-\sin\alpha), \] \[ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\sqrt2(\cos\alpha+\sin\alpha). \]
Тогда: \[ \frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)} {2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha} =\frac{\sqrt2\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha} =\operatorname{tg}\alpha. \]
г) \[ \operatorname{ctg}^2\alpha(1-\cos2\alpha)+\cos^2\alpha =\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\cdot2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha =2\cos^2\alpha+\cos^2\alpha =3\cos^2\alpha. \]
14. Верно ли равенство
а) \[ \sin\frac{7\pi}{12}-\sin\frac{\pi}{12} =2\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} =2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt2}{2}. \] Равенство верно.
б) \[ \cos\frac{11\pi}{24}-\cos\frac{\pi}{8} =-2\sin\frac{7\pi}{24}\sin\frac{\pi}{6} =-2\sin\frac{7\pi}{24}\cdot\frac12 =-\sin\frac{7\pi}{24}. \] Равенство верно.
Главный принцип: сводить всё к синусам и косинусам одного аргумента, затем применять формулы сложения, двойного угла и преобразования суммы в произведение.
