Помоги решить номер 169

Краткий ответ: все четыре графика — гиперболы. Они получаются из графика \(y=\frac{4}{x}\) параллельным переносом:

• а) вправо на 3;
• б) вверх на 2;
• в) влево на 3;
• г) вниз на 2.

1. Асимптоты и контрольные точки

а) \(y=\frac{4}{x-3}\)
Сдвиг вправо на 3. Асимптоты: \(x=3\), \(y=0\).
Точки: \((4;4)\), \((5;2)\), \((7;1)\), \((2;-4)\), \((1;-2)\), \((-1;-1)\).

б) \(y=\frac{4}{x}+2\)
Сдвиг вверх на 2. Асимптоты: \(x=0\), \(y=2\).
Точки: \((1;6)\), \((2;4)\), \((4;3)\), \((-1;-2)\), \((-2;0)\), \((-4;1)\).

в) \(y=\frac{4}{x+3}\)
Сдвиг влево на 3. Асимптоты: \(x=-3\), \(y=0\).
Точки: \((-2;4)\), \((-1;2)\), \((1;1)\), \((-4;-4)\), \((-5;-2)\), \((-7;-1)\).

г) \(y=\frac{4}{x}-2\)
Сдвиг вниз на 2. Асимптоты: \(x=0\), \(y=-2\).
Точки: \((1;2)\), \((2;0)\), \((4;-1)\), \((-1;-6)\), \((-2;-4)\), \((-4;-3)\).

2. Как строить

Сначала рисуешь пунктиром асимптоты. Потом отмечаешь контрольные точки и плавно соединяешь их отдельно в двух ветвях. Ветви нельзя соединять через асимптоты.

Так как коэффициент \(4>0\), у всех графиков ветви расположены так: одна — справа-сверху от точки пересечения асимптот, другая — слева-снизу.

3. Проверка

Например, для а) при \(x=4\):

\[ y=\frac{4}{4-3}=4 \]

то есть точка \((4;4)\) действительно лежит на графике. При \(x\to3\) знаменатель стремится к нулю, поэтому ветви уходят вверх и вниз, а при \(x\to\infty\) график приближается к \(y=0\). Это и подтверждает, что асимптоты \(x=3\) и \(y=0\) найдены верно.