построить график

Кратко: это гипербола \(y=-\dfrac{4}{x}\), поднятая на 2 единицы вверх. Её асимптоты — \(x=0\) и \(y=2\), ветви лежат во II и IV четвертях относительно этих асимптот. График проходит, например, через точки \((1;-2)\), \((2;0)\), \((4;1)\) и \((-1;6)\), \((-2;4)\), \((-4;3)\).

Как построить такую гиперболу

1. Базовая функция. Строим \(y=-\dfrac{4}{x}\). При \(k=-4<0\) ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях, оси координат — её асимптоты.

2. Сдвиг. Слагаемое \(+2\) означает сдвиг всего графика на 2 единицы вверх вдоль оси \(Oy\). Поэтому:

   • вертикальная асимптота остаётся \(x=0\) (ось \(Oy\));
   • горизонтальная асимптота становится \(y=2\).

3. Таблица точек. Берём удобные \(x\) и считаем \(y=-\dfrac{4}{x}+2\):

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4\\ \hline y & 3 & 4 & 6 & -2 & 0 & 1 \end{array} \]

4. Построение. Наносим точки и плавно соединяем их двумя ветвями:

   • левая ветвь: при \(x\to 0^-\) значение \(y\to +\infty\), при \(x\to -\infty\) график приближается к прямой \(y=2\) сверху;
   • правая ветвь: при \(x\to 0^+\) значение \(y\to -\infty\), при \(x\to +\infty\) график приближается к \(y=2\) снизу.

5. Проверка. Подставим, например, \(x=2\): \[ y=-\frac{4}{2}+2=-2+2=0, \] то есть точка \((2;0)\) действительно лежит на графике. А при \(x=1\): \[ y=-\frac{4}{1}+2=-2, \] точка \((1;-2)\) тоже верна.

Полезно запомнить: область определения \(x\ne 0\), область значений \(y\ne 2\); нуль функции находится из уравнения \(-\dfrac{4}{x}+2=0\), откуда \(x=2\). То есть график пересекает ось \(Ox\) в точке \((2;0)\), а ось \(Oy\) не пересекает.