Сделай 126 задание полностью с линиями промежутками и решения напиши
Сверь числа и знаки с фото.
- Решите неравенства: а) \((x-1)^2(x+3)>0\); б) \((x-5)(x-3)^2\le 0\); в) \((x-7)^3(x-6)^2\ge 0\); г) \(x^2(x+2)^3>0\); д) \(\frac{x}{(x-2)^2}\le 0\); е) \(\frac{(3-x)^2}{x+4}\ge 0\); ж) \(\frac{x+7}{(x-5)^2}\ge 0\); з) \(\frac{(11-x)^3}{(14-2x)^2}<0\); и) \(\frac{(x+3)^2}{(12-x)^3}>0\); к) \(\frac{x^2}{(x+2)^3}<0\).
Ниже — полное решение № 126. В таблицах верхняя строка — промежутки, нижняя — знак выражения на этом промежутке.
Краткие ответы: а) \((-3;1)\cup(1;+\infty)\); б) \((-\infty;5]\); в) \(\{6\}\cup[7;+\infty)\); г) \((-2;0)\cup(0;+\infty)\); д) \((-\infty;0]\); е) \((-4;+\infty)\); ж) \([-7;5)\cup(5;+\infty)\); з) \((11;+\infty)\); и) \((-\infty;-3)\cup(-3;12)\); к) \((-\infty;-2)\).
Общий принцип. Отмечаем нули числителя и знаменателя. Если множитель стоит в чётной степени, при переходе через его корень знак не меняется; если в нечётной — меняется. Нули знаменателя всегда выколоты. Для нестрогих неравенств \(\le,\ge\) нули числителя можно включать, для строгих \(<\) и \(>\) — нельзя.
а) \((x-1)^2(x+3)>0\)
Точки \(-3\) и \(1\) выколоты. Корень \(1\) имеет чётную кратность, поэтому знак через него не меняется.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;-3)&(-3;1)&(1;+\infty)\\ \hline & -&+&+ \end{array} \]
Нужны «плюсы»: \[ \boxed{(-3;1)\cup(1;+\infty)} \]
б) \((x-5)(x-3)^2\le0\)
Точки \(3\) и \(5\) закрашены, так как неравенство нестрогое. Корень \(3\) чётный, знак через него не меняется.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;3)&(3;5)&(5;+\infty)\\ \hline & -&-&+ \end{array} \]
Подходят все отрицательные значения и нули, то есть все \(x\le5\): \[ \boxed{(-\infty;5]} \]
в) \((x-7)^3(x-6)^2\ge0\)
Точки \(6\) и \(7\) закрашены. Корень \(6\) чётный, корень \(7\) нечётный.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;6)&(6;7)&(7;+\infty)\\ \hline & -&-&+ \end{array} \]
Положительное значение — на \([7;+\infty)\), ещё отдельно подходит точка \(6\), где выражение равно нулю: \[ \boxed{\{6\}\cup[7;+\infty)} \]
г) \(x^2(x+2)^3>0\)
Точки \(-2\) и \(0\) выколоты. Корень \(0\) чётный, корень \(-2\) нечётный.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;-2)&(-2;0)&(0;+\infty)\\ \hline & -&+&+ \end{array} \]
\[ \boxed{(-2;0)\cup(0;+\infty)} \]
д) \(\dfrac{x}{(x-2)^2}\le0\)
Область определения: \(x\ne2\). Точка \(0\) закрашена, \(2\) выколота.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;0)&(0;2)&(2;+\infty)\\ \hline & -&+&+ \end{array} \]
Подходят отрицательные значения и \(x=0\): \[ \boxed{(-\infty;0]} \]
е) \(\dfrac{(3-x)^2}{x+4}\ge0\)
Область определения: \(x\ne-4\). Точка \(-4\) выколота, \(3\) закрашена.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;-4)&(-4;3)&(3;+\infty)\\ \hline & -&+&+ \end{array} \]
\[ \boxed{(-4;+\infty)} \]
ж) \(\dfrac{x+7}{(x-5)^2}\ge0\)
Область определения: \(x\ne5\). Точка \(-7\) закрашена, \(5\) выколота.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;-7)&(-7;5)&(5;+\infty)\\ \hline & -&+&+ \end{array} \]
\[ \boxed{[-7;5)\cup(5;+\infty)} \]
з) \(\dfrac{(11-x)^3}{(14-2x)^2}<0\)
Область определения: \(x\ne7\). Точки \(7\) и \(11\) выколоты.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;7)&(7;11)&(11;+\infty)\\ \hline & +&+&- \end{array} \]
Нужны отрицательные значения: \[ \boxed{(11;+\infty)} \]
и) \(\dfrac{(x+3)^2}{(12-x)^3}>0\)
Область определения: \(x\ne12\). Точки \(-3\) и \(12\) выколоты.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;-3)&(-3;12)&(12;+\infty)\\ \hline & +&+&- \end{array} \]
\[ \boxed{(-\infty;-3)\cup(-3;12)} \]
к) \(\dfrac{x^2}{(x+2)^3}<0\)
Область определения: \(x\ne-2\). Точки \(-2\) и \(0\) выколоты.
\[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty;-2)&(-2;0)&(0;+\infty)\\ \hline & -&+&+ \end{array} \]
\[ \boxed{(-\infty;-2)} \]
Проверка знаков выполнялась подстановкой пробных точек из каждого промежутка; в точках с чётной кратностью знак действительно не меняется, а нули знаменателя исключены.
