реши 3 и 4 задание
Сверь числа и знаки с фото.
В групповом турнире чемпионата Европы по футболу (4 команды, выигрыш - 3 очка, ничья - 1 очко, поражение - 0) чистое второе место заняла команда, набравшая 3 очка. Восстановите результаты всех матчей.
а) В турнире участвуют 15 шахматистов. Возможна ли такая ситуация, что к некоторому моменту турнира каждый из них сыграл ровно 7 партий? б) Докажите, что в любой момент число участников турнира, завершивших до этого времени нечётное число партий, чётно.
3. Команда \(B\) с \(3\) очками не могла иметь одну победу и два поражения: обыгравшие её команды уже получили бы по \(3\) очка, и \(B\) не была бы единственной второй. Значит, \(B\) трижды сыграла вничью.
Исходы:
- \(A-B\) — ничья;
- \(A-C,\ A-D\) — победы \(A\);
- \(B-C,\ B-D\) — ничьи;
- \(C-D\) — ничья.
Очки: \(A=7,\ B=3,\ C=2,\ D=2\). Точный счёт голов не восстанавливается.
4. а) Нет. Всего было бы \(15\cdot 7=105\) «участий в партиях», но каждая партия даёт \(2\) участия, а \(105\) нечётно.
б) Каждая партия увеличивает на \(1\) число сыгранных партий сразу у двух участников. Поэтому сумма всех сыгранных партий чётна. Если бы нечётное число участников имели нечётное число партий, сумма была бы нечётной — противоречие. Значит, таких участников всегда чётное число.
Обсуждение
10 сообщенийА что значит A B в 3 задаче
\(A-B\) — это просто обозначение матча между командами \(A\) и \(B\) (так же \(A-C\), \(B-D\) и т. д.).
Запись «\(A-B\) — ничья» читается: «в игре \(A\) против \(B\) зафиксирована ничья», то есть обе команды получили по \(1\) очку.
Там же не написано название команд
Да, \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — это условные обозначения, которые я ввёл сам: в условии команды либо не названы по именам, либо названы иначе.
Это просто метки для четырёх команд. Если в условии есть настоящие названия, подставь их вместо букв — сам разбор и очки от этого не меняются.
Нарисуй к 3 задаче таблицу с баллами
Таблица матчей и начисленных баллов:
| Матч | Исход | Баллы |
|---|---|---|
| \(A-B\) | ничья | \(A\) — 1, \(B\) — 1 |
| \(A-C\) | победа \(A\) | \(A\) — 3, \(C\) — 0 |
| \(A-D\) | победа \(A\) | \(A\) — 3, \(D\) — 0 |
| \(B-C\) | ничья | \(B\) — 1, \(C\) — 1 |
| \(B-D\) | ничья | \(B\) — 1, \(D\) — 1 |
| \(C-D\) | ничья | \(C\) — 1, \(D\) — 1 |
Итоговая таблица:
| Команда | Победы | Ничьи | Поражения | Баллы |
|---|---|---|---|---|
| \(A\) | 2 | 1 | 0 | 7 |
| \(B\) | 0 | 3 | 0 | 3 |
| \(C\) | 0 | 2 | 1 | 2 |
| \(D\) | 0 | 2 | 1 | 2 |
Сделай вот такую же таблицу только правильно
В клетке — очки команды из строки в матче с командой из столбца:
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| A | × | 1 | 3 | 3 |
| B | 1 | × | 1 | 1 |
| C | 0 | 1 | × | 1 |
| D | 0 | 1 | 1 | × |
Проверка по строкам: \(A=7\), \(B=3\), \(C=2\), \(D=2\).
Реши 5 и 6
5. В однокруговом турнире 5 команд играют \(10\) матчей. Пусть \(d\) — число ничьих. Тогда сумма очков всех команд: \[ 30-d \] Победитель набрал половину: \[ \frac{30-d}{2}=15-\frac d2 \] Но за 4 матча он мог набрать не больше 12 очков: \[ 15-\frac d2\le 12 \quad\Rightarrow\quad d\ge 6 \] При этом \(d\) чётно, значит \(d=6,8,10\).
- \(d=8\): у победителя \(11\) очков — за 4 матча это невозможно.
- \(d=10\): у победителя \(10\) очков, то есть 3 победы и 1 ничья. Тогда среди остальных четырёх команд должно быть \(9\) ничьих, но между ними всего \(6\) матчей — невозможно.
Остаётся: \[ d=6 \]
Ответ: 6 ничьих.
6. Пусть в турнире \(n\) команд. В некоторый момент рассмотрим число сыгранных матчей у каждой команды: \[ 0\le m_1,m_2,\ldots,m_n\le n-1 \] Возможных значений всего \(n\): от \(0\) до \(n-1\).
Если бы все \(n\) чисел были различны, то они должны были бы быть ровно \[ 0,1,\ldots,n-1 \] Но одновременно не могут быть команда, сыгравшая \(0\) матчей, и команда, сыгравшая \(n-1\) матчей: если кто-то сыграл со всеми, то каждый уже сыграл хотя бы один матч.
Значит, \(n\) различных значений быть не может. По принципу Дирихле хотя бы у двух команд число сыгранных матчей одинаково.
