Домашнее задание 1) x⁴ = (x + 12)²
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Домашнее задание
- \(x^{4} = (x+12)^{2}\) \(x^{4} - (x+12)^{2} = 0\) \(x^{4} - x^{2} + 24x + 144 = 0\) \((x^{2})^{2} - (x^{2} + 24x + 144) = 0\)
Краткий ответ
\[ x^4=(x+12)^2 \quad\Longrightarrow\quad x=4 \ \text{или}\ x=-3 . \]
Почему так: ключевая идея
Слева стоит квадрат: \(x^4=(x^2)^2\). Значит, уравнение имеет вид
\[ a^2=b^2,\qquad a=x^2,\quad b=x+12 . \]
А равенство квадратов выполняется ровно тогда, когда числа равны или противоположны:
\[ a^2=b^2 \iff a=b \ \text{или}\ a=-b . \]
Поэтому вместо раскрытия скобок (и уравнения 4-й степени) получаем два квадратных уравнения:
\[ x^2-(x+12)^2=0 \iff \bigl(x^2-(x+12)\bigr)\bigl(x^2+(x+12)\bigr)=0 . \]
Решение по шагам
Случай 1: \(x^2=x+12\), то есть \(x^2-x-12=0\).
\[ D=1+48=49,\qquad x=\frac{1\pm 7}{2}, \] \[ x_1=\frac{1+7}{2}=4,\qquad x_2=\frac{1-7}{2}=-3 . \]
Случай 2: \(x^2=-(x+12)\), то есть \(x^2+x+12=0\).
\[ D=1-48=-47<0, \]
действительных корней нет.
Проверка
- \(x=4\): \(4^4=256\), \((4+12)^2=16^2=256\) — верно.
- \(x=-3\): \((-3)^4=81\), \((-3+12)^2=9^2=81\) — верно.
Про запись в тетради
В тетради скобка раскрыта так: \(x^4-x^2+24x+144=0\). Здесь потерян минус перед скобкой: при раскрытии знаки меняются у всех членов, должно быть \(x^4-x^2-24x-144=0\). Но даже с исправленными знаками это уравнение 4-й степени, которое решать тяжело. Гораздо надёжнее не раскрывать скобки, а сразу увидеть формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) (или записать \(x^2=|x+12|\)).
Обсуждение
4 сообщенияПервое уравнение записано верно
Я проверил твою запись по первой задаче: разложение \((x^2-x-12)(x^2+x+12)=0\), дискриминанты, корни \(x=4\) и \(x=-3\) — всё правильно, ответ тот же.
Одна мелочь в оформлении: во второй строке с дискриминантом \(D_2\) стоит плюс перед \(4\cdot1\cdot(-12)\). Для уравнения \(x^2+x+12=0\) надо писать
\[ D_2=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47 . \]
Число получилось то же, но лучше, чтобы знак в формуле соответствовал коэффициентам \(a=1,\ b=1,\ c=12\).
Второе задание
\[ x(x^2+2x+1)=2(x+1) \]
Краткий ответ: \(x=-2,\ x=-1,\ x=1\).
Ключевая идея
Ты уже правильно раскрыл скобки: \(x^3+2x^2+x=2x+2\). Но дальше удобнее не возиться с кубическим многочленом, а заметить, что
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2 . \]
Тогда в обеих частях есть общий множитель \((x+1)\), и его можно вынести.
Решение по шагам
\[ x(x+1)^2=2(x+1) \]
Переносим всё в левую часть:
\[ x(x+1)^2-2(x+1)=0 \]
Выносим общий множитель \((x+1)\):
\[ (x+1)\bigl(x(x+1)-2\bigr)=0, \] \[ (x+1)(x^2+x-2)=0 . \]
Квадратный трёхчлен раскладывается: \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\). Значит,
\[ (x+1)(x+2)(x-1)=0, \] \[ x=-1,\qquad x=-2,\qquad x=1 . \]
Через твоё раскрытие скобок — тот же результат, если сразу перенести всё влево и сгруппировать:
\[ x^3+2x^2-x-2=0, \] \[ x^2(x+2)-(x+2)=0, \] \[ (x+2)(x^2-1)=0 \iff (x+2)(x-1)(x+1)=0 . \]
Проверка
- \(x=1\): слева \(1\cdot(1+2+1)=4\), справа \(2\cdot2=4\) — верно.
- \(x=-1\): слева \(0\), справа \(0\) — верно.
- \(x=-2\): слева \(-2\cdot(4-4+1)=-2\), справа \(2\cdot(-1)=-2\) — верно.
Вывод для себя
Когда в уравнении видишь \(x^2+2x+1\), это почти всегда \((x+1)^2\). Ищи общий множитель — это избавляет от кубического уравнения.
Твоя запись — правильное начало
Ты верно перенёс всё в левую часть и увидел общий множитель \((4x-1)(x+3)\). Осталось его вынести.
Краткий ответ
\[ x=\frac{1}{4},\qquad x=\frac{1}{2},\qquad x=-3 . \]
Решение по шагам
\[ (4x-1)^2(x+3)-(4x-1)(x+3)=0 \]
Выносим общий множитель \((4x-1)(x+3)\):
\[ (4x-1)(x+3)\bigl((4x-1)-1\bigr)=0, \] \[ (4x-1)(x+3)(4x-2)=0 . \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ 4x-1=0 \ \Rightarrow\ x=\frac{1}{4}, \] \[ x+3=0 \ \Rightarrow\ x=-3, \] \[ 4x-2=0 \ \Rightarrow\ x=\frac{1}{2}. \]
Последнюю скобку можно записать как \(2(2x-1)\) — на корни это не влияет.
Проверка
- \(x=\frac14\): \(4x-1=0\), обе части равны нулю — верно.
- \(x=-3\): \(x+3=0\), обе части равны нулю — верно.
- \(x=\frac12\): слева \(1^2\cdot3{,}5=3{,}5\), справа \(1\cdot3{,}5=3{,}5\) — верно.
Главная ловушка
Нельзя сокращать обе части на \((4x-1)(x+3)\): при этом теряются корни \(x=\frac14\) и \(x=-3\). Переносить влево и выносить множитель — единственный безопасный способ.
