Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Корни уравнения: \(x_{1}=2\), \(x_{2}=3\).
Кратко объясню, как это получить.
Ищем два числа, которые в произведении дают \(6\), а в сумме дают \(5\). Это \(2\) и \(3\), потому что:
\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6. \]
Поэтому квадратный трёхчлен раскладывается на множители:
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Уравнение принимает вид:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка:
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0, \]
\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
2 сообщенияА как решить, если корни не целые?
Когда корни не целые, подбор множителей почти не работает — нужен универсальный способ. Это формула через дискриминант.
Кратко: для \(ax^{2}+bx+c=0\) считаем
\[ D=b^{2}-4ac, \]
а затем
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
Порядок действий:
- Выпиши коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) (не забывая знаки).
- Найди \(D=b^{2}-4ac\).
- Если \(D>0\) — два корня, если \(D=0\) — один, если \(D<0\) — действительных корней нет.
- Подставь в формулу и упрости выражение с корнем.
Пример. Решим \(x^{2}-4x+1=0\).
Здесь \(a=1\), \(b=-4\), \(c=1\).
\[ D=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12. \]
\[ x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm\sqrt{3}. \]
То есть
\[ x_{1}=2+\sqrt{3}\approx 3{,}73,\qquad x_{2}=2-\sqrt{3}\approx 0{,}27. \]
Проверка (по теореме Виета, она работает и при нецелых корнях):
\[ x_{1}+x_{2}=4=-b,\qquad x_{1}x_{2}=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1=c. \]
Всё сходится. Кстати, в прошлом уравнении Виета давала \(x_{1}+x_{2}=5\) и \(x_{1}x_{2}=6\) — именно поэтому там подбор и сработал: корни оказались целыми.
Если в ответе получается корень, который не извлекается нацело, оставляй его в виде \(\sqrt{D}\) — это точный ответ; десятичную дробь пиши только как приближение.
