Найдите четырёхугольник PQRT, у которого: а) PQ ∥ RT; б) PQ ∥ RT, PT ∥ RQ и PT ⊥ RT.

Краткий ответ

а) Четырёхугольник \(PQRT\) — трапеция с основаниями \(PQ\) и \(RT\) (параллельна только эта пара противоположных сторон).

б) Четырёхугольник \(PQRT\) — прямоугольник (параллелограмм с прямым углом).

Почему так

1. В четырёхугольнике \(PQRT\) вершины идут по кругу: \(P \to Q \to R \to T \to P\), поэтому его стороны — \(PQ\), \(QR\), \(RT\), \(TP\). Значит противоположные стороны — это \(PQ\) и \(RT\), а также \(QR\) и \(TP\).

2. Пункт а. Условие \(PQ \parallel RT\) означает, что параллельна ровно одна пара противоположных сторон. Четырёхугольник с одним параллельным «поясом» сторон — трапеция, а \(PQ\) и \(RT\) — её основания.

Пример: \(P(0;0)\), \(Q(5;0)\), \(R(4;3)\), \(T(1;3)\). Здесь \(PQ\) и \(RT\) горизонтальны (параллельны), а \(QR\) и \(TP\) наклонены по-разному — они не параллельны.

3. Пункт б. \(PQ \parallel RT\) и \(PT \parallel RQ\) — обе пары противоположных сторон параллельны, значит это параллелограмм. Дополнительно \(PT \perp RT\): стороны \(PT\) и \(RT\) соседние, угол \(T\) прямой. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\), поэтому если один угол прямой, то все четыре прямые. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Пример: \(P(0;0)\), \(Q(4;0)\), \(R(4;3)\), \(T(0;3)\): \(PQ \parallel RT\), \(PT \parallel RQ\), \(PT \perp RT\).

Проверка

В прямоугольнике из пункта б действительно выполняются все три условия сразу: обе пары сторон параллельны и есть прямой угол, — то есть пункт б — частный случай пункта а (прямоугольник тоже трапеция, только с двумя параллельными парами).