В XIX веке во время своего пребывания на Кавказе этот русский писатель знакомится с преданиями о музыканте Ашик-Керибе

Краткий ответ: А — Михаил Юрьевич Лермонтов.

Почему так

• В 1837 году Лермонтов был сослан на Кавказ (за стихотворение «Смерть поэта»). Там он услышал и записал турецкую народную сказку о бедном певце Ашик-Керибе и его невесте Магуль-Мегери.
• По мотивам этого сюжета он создал сказку «Ашик-Кериб» — это одно из немногих прозаических произведений Лермонтова; при его жизни она не печаталась и вышла уже после смерти поэта, в 1846 году.
• Гоголь и Булгаков к этому сюжету отношения не имеют: Гоголь известен «Вечерами на хуторе близ Диканьки», Булгаков — «Мастером и Маргаритой».

Как узнавать такие вопросы. Держи в голове «привязку автора к месту и сюжету»: Кавказ + фольклорные записи → Лермонтов («Ашик-Кериб», «Мцыри», «Демон»); Украина + народные предания → Гоголь; 1920–30-е годы + Москва → Булгаков. Вопрос проверяет не биографию целиком, а именно эту связку «место — источник сюжета — автор».

Проверка: из трёх вариантов только у Лермонтова есть произведение с героями Ашик-Кериб и Магуль-Мегери, поэтому ответ А.