132 (2,4)
Сверь числа и знаки с фото.
132 Найти функцию, обратную к данной:
- \(y = 2x - 1\); 2) \(y = -5x + 4\);
- \(y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}\); 4) \(y = \frac{3x - 1}{2}\);
- \(y = x^{3} + 1\); 6) \(y = x^{3} - 3\).
Краткий ответ
\(y=-5x+4\;\Rightarrow\; y=\dfrac{4-x}{5}\)
\(y=\dfrac{3x-1}{2}\;\Rightarrow\; y=\dfrac{2x+1}{3}\)
Как это устроено
Обратная функция «разворачивает» действие: она берёт результат \(y\) и возвращает исходный \(x\). Алгоритм:
- В записи \(y=f(x)\) считаем \(y\) известным и выражаем через него \(x\).
- Переобозначаем переменные: \(x\leftrightarrow y\). Получаем \(y=f^{-1}(x)\).
- Проверяем подстановкой: \(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\).
Обратная функция существует, потому что обе данные функции линейные с ненулевым угловым коэффициентом (строго монотонны), а их область определения и область значений — все действительные числа.
2) \(y=-5x+4\)
\[-5x=y-4,\qquad x=\frac{y-4}{-5}=\frac{4-y}{5}\]
Меняем буквы местами:
\[y=\frac{4-x}{5}\]
Проверка: \(-5\cdot\dfrac{4-x}{5}+4=-(4-x)+4=x\). Верно.
4) \(y=\dfrac{3x-1}{2}\)
\[2y=3x-1,\qquad 3x=2y+1,\qquad x=\frac{2y+1}{3}\]
Меняем буквы местами:
\[y=\frac{2x+1}{3}\]
Проверка: \(\dfrac{3\cdot\frac{2x+1}{3}-1}{2}=\dfrac{2x+1-1}{2}=x\). Верно.
Полезная картинка в голове: графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой \(y=x\).
Обсуждение
2 сообщенияпочему во втором примере -5х=у-4 там -4, а не +4
Потому что при переносе слагаемого в другую часть уравнения его знак меняется на противоположный: \(+4\) слева стало \(-4\) справа.
Подробно, без «переносов»
Берём исходное:
\[y=-5x+4\]
Вычтем \(4\) из обеих частей (так ничего не нарушается):
\[y-4=-5x+4-4\]
\[y-4=-5x\]
Это то же самое, что \(-5x=y-4\). Слева \(4\) «ушло», потому что \(4-4=0\); справа от \(y\) стоит ровно \(-4\).
Проверка числами. Возьмём \(x=0\). Тогда \(y=-5\cdot 0+4=4\). Подставим пару \((x;y)=(0;4)\) в равенство \(-5x=y-4\):
\[-5\cdot 0=0,\qquad 4-4=0\]
Сходится. А если написать \(-5x=y+4\), получим \(0=8\) — неверно, значит вариант с \(+4\) ошибочный.
Другой путь, без минуса при \(x\)
Перенесём \(-5x\) влево, а \(y\) вправо:
\[5x=4-y,\qquad x=\frac{4-y}{5}\]
После перестановки букв: \(y=\dfrac{4-x}{5}\) — тот же ответ, что и раньше. Так иногда удобнее: меньше риска запутаться в знаках.
Общее правило на будущее: в равенстве \(a=b+c\) можно записать \(a-c=b\), но нельзя \(a+c=b\) — при «переезде» через знак равенства знак меняется.
