Запиши что бы можно было написать в тетрадь по теории
Сверь числа и знаки с фото.
Рассмотрим ещё один способ нахождения площади треугольника. Теорема Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности. Пусть треугольник ABC описан около окружности с центром в точке O и радиусом r. Соединим центр окружности с вершинами треугольника (рис. 212). [Рисунок: треугольник ABC с вписанной окружностью; отмечены центр O и точки касания K, M, L.] Получим, что треугольник ABC составлен из трёх треугольников: ABO, BCO и CAO. Если в каждом из этих треугольников принять за основание сторону треугольника ABC, то высотой окажется радиус r окружности, вписанной в треугольник ABC. Поэтому площадь S треугольника ABC выражается формулой \[S=\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r+\frac{1}{2}CA\cdot r=\frac{AB+BC+CA}{2}\cdot r.\] Теорема доказана. 59. Площадь трапеции Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника (рис. 213). [Рисунок: многоугольник разбит на треугольники с площадями S_1, S_2, S_3; подпись S=S_1+S_2+S_3.] Используя этот приём, выведем формулу для вычисления площади трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке 214 отрезок BH (а также отрезок DH1) — высота трапеции ABCD. Теорема Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Доказательство Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S (рис. 214). [Рисунок: трапеция ABCD с основаниями AD и BC; проведены высота BH, диагональ BD и высота DH_1 к прямой BC.] Докажем, что \[S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH.\] Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому \(S=S_{ABD}+S_{BCD}\). Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда \[S_{ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BH,\quad S_{BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DH_1.\] Так как \(DH_1=BH\), то \(S_{BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot BH\). Таким образом, \[S=\frac{1}{2}AD\cdot BH+\frac{1}{2}BC\cdot BH=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH.\] Теорема доказана.
Кратко: в тетрадь стоит записать две теоремы — площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности и площадь трапеции; для трапеции ещё нужны определение высоты и доказательство.
1. Площадь треугольника через вписанную окружность
Теорема. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
\[ S=pr,\qquad p=\frac{a+b+c}{2}, \]
где \(a,b,c\) — стороны треугольника, \(r\) — радиус вписанной окружности.
Доказательство. Пусть в треугольник \(ABC\) вписана окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\). Соединим \(O\) с вершинами треугольника. Тогда
\[ S_{ABC}=S_{ABO}+S_{BCO}+S_{CAO}. \]
В каждом из треугольников \(ABO\), \(BCO\), \(CAO\) соответствующая сторона треугольника \(ABC\) является основанием, а \(r\) — высотой. Поэтому
\[ S=\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r+\frac{1}{2}CA\cdot r =\frac{AB+BC+CA}{2}\cdot r=pr. \]
2. Высота трапеции
Определение. Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.
На рисунке \(BH\) и \(DH_1\) — высоты трапеции \(ABCD\).
3. Площадь трапеции
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \]
Доказательство. Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD=a\), \(BC=b\) и высотой \(BH=h\).
Диагональ \(BD\) разбивает трапецию на два треугольника:
\[ S=S_{ABD}+S_{BCD}. \]
Для треугольника \(ABD\) основание — \(AD\), высота — \(BH\). Для треугольника \(BCD\) основание — \(BC\), высота — \(DH_1\). Тогда
\[ S_{ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BH,\qquad S_{BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DH_1. \]
Так как \(AD\parallel BC\), то \(DH_1=BH=h\). Значит,
\[ S=\frac{1}{2}AD\cdot h+\frac{1}{2}BC\cdot h =\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot h. \]
То есть
\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h. \]
Главная идея. Обе формулы получаются одинаково: фигуру разбивают на треугольники, считают площадь каждого по формуле «половина основания на высоту» и складывают. У треугольника с вписанной окружностью все высоты маленьких треугольников равны \(r\), а у трапеции обе высоты равны \(h\).
Проверка. Если у трапеции основания равны, формула даёт \(S=ah\) — площадь параллелограмма. Это подтверждает, что формула устроена верно.
Обсуждение
4 сообщенияЗапиши что бы можно было написать в тетрадь по теории
Вот конспект, который можно перенести в тетрадь (по страницам 149–150).
1. Площадь треугольника через вписанную окружность
Теорема. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
\[ S = pr, \qquad p=\frac{AB+BC+CA}{2} \]
Краткое доказательство. Пусть окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\) вписана в \(\triangle ABC\). Соединим \(O\) с вершинами \(A\), \(B\), \(C\) — треугольник разбивается на три: \(ABO\), \(BCO\), \(CAO\). В каждом из них основание — сторона треугольника, а высота — радиус \(r\) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне). Тогда
\[ S=\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r+\frac{1}{2}CA\cdot r=\frac{AB+BC+CA}{2}\cdot r=pr. \]
Приём: площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит: \(S=S_1+S_2+S_3\).
2. Площадь трапеции (п. 59)
Определение. Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведённый из любой точки прямой, содержащей одно основание, к прямой, содержащей другое основание. На рис. 214 \(BH\) (и \(DH_1\)) — высота трапеции \(ABCD\).
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
\[ S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH \]
Доказательство. Диагональ \(BD\) разбивает трапецию на два треугольника:
- \(S_{ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BH\) (основание \(AD\), высота \(BH\));
- \(S_{BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DH_1\), причём \(DH_1=BH\), поэтому \(S_{BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot BH\).
Складываем:
\[ S=\frac{1}{2}AD\cdot BH+\frac{1}{2}BC\cdot BH=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH. \]
3. Полезно помнить (для задач № 555–560)
\[ S_{\text{паралл.}}=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\qquad S_{\text{ромба}}=a\cdot h \] \[ S_{\text{паралл.}}=ab\sin\alpha \]
Если нужно, могу собрать такой же конспект по задачам 555–560 с решениями.
Напиши формулу для нахождения площади трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
\[ S=\frac{a+b}{2}\cdot h \]
где \(a\) и \(b\) — основания трапеции (параллельные стороны), \(h\) — высота (перпендикуляр между прямыми, содержащими основания).
Почему так. Диагональ делит трапецию на два треугольника с основаниями \(a\) и \(b\) и одной и той же высотой \(h\):
\[ S=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh=\frac{a+b}{2}\cdot h. \]
Проверка на частном случае. Если \(a=b\), получаем \(S=ah\) — площадь параллелограмма, как и должно быть.
Если из формулы нужно выразить высоту: \(h=\dfrac{2S}{a+b}\). Скажи, если нужно разобрать задачу на применение этой формулы.
