Проверочная работа 1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми: а) 12 и 15; в) 25 и 30; б) 29 и 34; г) 72 и 73?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ
Проверочная работа

1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми:
а) 12 и 15; в) 25 и 30;
б) 29 и 34; г) 72 и 73?

2 Даны разложения на простые множители двух чисел:
2 · 2 · 5 · 7 и 2 · 7 · 11.

Найдите их наибольший общий делитель.

3 Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 34 и 56; в) 102 и 204;
б) 45 и 65; г) 1005 и 960.

4 Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько ра[обрезано]
больше 240?

5 Дана правильная дробь $ \frac{m}{15} $. Найдите все значения m такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми.

Answer

На фото несколько отдельных заданий. Ниже разбираю блок «Проверочная работа» (№1–5); номера 2.91–2.94 сверху не беру. Если нужен один из них, напиши его номер.

Краткие ответы

1. б, г

2. 14

3. а) 2; б) 5; в) 102; г) 15

4. $1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$, $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$; если сравнивают 1440 и 240, то в 6 раз.

5. $m = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14$.

Как это получается

1. Взаимно простые числа

Взаимно простые — значит, у них наибольший общий делитель равен 1, а не «оба числа простые».

$12$ и $15$: общий делитель $3$, не подходят.

$29$ и $34$: $29$ — простое, $34 = 2 \cdot 17$, общих делителей нет, подходят.

$25$ и $30$: общий делитель $5$, не подходят.

$72$ и $73$: соседние числа, их общий делитель может быть только $1$, подходят.

Ответ: б, г.

2. НОД по разложениям

Даны разложения:
$$
2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7
\quad\text{и}\quad
2 \cdot 7 \cdot 11.
$$

Берём общие простые множители: $2$ и $7$. Значит,
$$
\text{НОД}=2\cdot7=14.
$$

Ответ: 14.

3. НОД чисел

а) $34=2\cdot17$, $56=2^3\cdot7$, общий множитель только $2$.
$$
\text{НОД}=2.
$$

б) $45=3^2\cdot5$, $65=5\cdot13$, общий множитель $5$.
$$
\text{НОД}=5.
$$

в) $204=2\cdot102$, поэтому $102$ — общий делитель, и он наибольший.
$$
\text{НОД}=102.
$$

г)
$$
1005=3\cdot5\cdot67,\qquad 960=2^6\cdot3\cdot5.
$$
Общие множители: $3$ и $5$.
$$
\text{НОД}=3\cdot5=15.
$$

Ответ: а) 2; б) 5; в) 102; г) 15.

4. Разложение на простые множители

$$
1440=144\cdot10=2^4\cdot3^2\cdot2\cdot5
=2^5\cdot3^2\cdot5.
$$

$$
240=24\cdot10=2^3\cdot3\cdot2\cdot5
=2^4\cdot3\cdot5.
$$

Если вопрос — во сколько раз $1440$ больше $240$, то:
$$
\frac{1440}{240}=6.
$$

Можно проверить: $240\cdot6=1440$.

Ответ: $1440$ больше $240$ в 6 раз.

5. Дробь $\frac{m}{15}$

Дробь правильная, значит $m<15$, то есть
$$
m=1,2,\ldots,14.
$$

Числа $m$ и $15$ должны быть взаимно простыми. Так как $15=3\cdot5$, нельзя брать $m$, делящиеся на $3$ или на $5$.

Убираем $3,5,6,9,10,12$:
$$
m=1,2,4,7,8,11,13,14.
$$

Ответ: $1,2,4,7,8,11,13,14$.