Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как это получить

Способ 1. По теореме Виета. Уравнение приведённое (коэффициент при \(x^2\) равен 1), значит:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]

Нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3: \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).

Способ 2. Разложение на множители. Ищем числа, дающие в произведении 6 и в сумме −5 (уже с учётом знака): это −2 и −3.

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Способ 3. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «некрасивые»):

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

Отсюда \(x_1=\frac{6}{2}=3\), \(x_2=\frac{4}{2}=2\).

Проверка

Подставляю корни в исходное уравнение:

• \(2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0\) ✓
• \(3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0\) ✓

Оба корня подходят.

Главная идея: у квадратного уравнения не более двух корней, и их удобно искать либо «подбором по Виету» (быстро, когда корни целые), либо через дискриминант (надёжно в любом случае).