684. Число 123 454 321 делится на 11 111. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел, не выполняя разложения чисел на простые множители.

На фото три номера — 684, 685 и 686. Решаю их по порядку. Главное правило здесь: если одно число делится на другое, то их НОК равно большему числу.

Краткие ответы

• 684. \(123\,454\,321\).
• 685. а) \(135\); б) \(120\); в) \(432\); г) \(234\); д) \(123\); е) \(64\).
• 686. \(a\).

Почему так

Если \(n\mid m\), то \(m\) уже является общим кратным: оно делится на само себя и на \(n\). Меньше \(m\) общего кратного быть не может, потому что любое общее кратное должно делиться на \(m\). Значит, НОК этих чисел равно \(m\).

684. По условию \(11\,111\mid 123\,454\,321\). Следовательно, большее число уже является общим кратным, поэтому \[ \text{НОК}(11\,111;\,123\,454\,321)=123\,454\,321. \] Проверка: \(123\,454\,321:11\,111=11\,111\).

685. В каждой паре большее число делится на меньшее: \[ 135:5=27,\quad 120:10=12,\quad 432:2=216, \] \[ 234:9=26,\quad 123:3=41,\quad 64:16=4. \] Поэтому НОК в каждом пункте — большее число.

686. Дано \(b\mid a\). Значит, \(a\) — общее кратное \(a\) и \(b\), а меньшего общего кратного быть не может. Поэтому \[ \text{НОК}(a,b)=a. \]