С-16 1. Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найдите проекцию перпендикуляра на наклонную.

Подробное решение

Пусть в прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, гипотенуза \(AB=9\) см, катет \(AC=6\) см. Опустим высоту \(CH\) на гипотенузу. Тогда проекция катета \(AC\) на гипотенузу — это отрезок \(AH\).

Способ 1 (через подобие). Треугольники \(ACH\) и \(ABC\) прямоугольные (у первого прямой угол при \(H\), у второго — при \(C\)), а угол \(A\) у них общий. Значит, они подобны: \[ \triangle ACH \sim \triangle ABC. \] Из подобия: \[ \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}. \] Отсюда \[ AC^2=AB\cdot AH, \] поэтому \[ AH=\frac{AC^2}{AB}=\frac{6^2}{9}=\frac{36}{9}=4\text{ см}. \]

Способ 2 (через косинус). В треугольнике \(ABC\) \[ \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}. \] В прямоугольном треугольнике \(ACH\) \[ \cos A=\frac{AH}{AC}, \] значит \[ AH=AC\cdot \cos A=6\cdot\frac{2}{3}=4\text{ см}. \]

Проверка. Второй катет: \[ BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}. \] Его проекция на гипотенузу равна \[ HB=AB-AH=9-4=5, \] и действительно \[ BC^2=HB\cdot AB=5\cdot 9=45. \]

Ответ: \(4\) см.