6.4 и 6.5
Сверь числа и знаки с фото.
6.4 а) \(\left(2+\frac{t}{t+1}\right):\frac{3t^{2}+3t}{12t+8}\); в) \(\frac{z-3}{z+3}\cdot\left(z+\frac{z^{2}}{3-z}\right)\); б) \(\left(p-\frac{5p}{p+2}\right):\frac{p-3}{p+2}\); г) \(\left(\frac{q}{q-5}-2q\right):\frac{11-2q}{q-5}\). 6.5 а) \(\left(\frac{6}{x-y}-\frac{5}{x+y}\right)\cdot\frac{x-y}{x+11y}\); в) \(\left(\frac{x-2y}{xy}+\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{x-y}\); б) \(\left(a-\frac{a^{2}}{a+1}\right)\cdot\frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a}\); г) \(\frac{cd-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}\cdot\left(\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c-d}\right)\).
Краткий ответ
6.4: а) \(\frac{4(3t+2)^2}{3t(t+1)^2}\); б) \(p\); в) \(-\frac{3z}{z+3}\); г) \(q\).
6.5: а) \(\frac{1}{x+y}\); б) \(\frac{a-1}{a+2}\); в) \(xy\); г) \(\frac{d}{c+d}\).
Как решаются такие примеры
- В скобках привести дроби к общему знаменателю и упростить числитель.
- Деление заменить умножением на обратную дробь.
- Разложить числители и знаменатели на множители и сократить.
6.4
а) \[ 2+\frac{t}{t+1}=\frac{2(t+1)+t}{t+1}=\frac{3t+2}{t+1}, \] \[ \frac{3t^2+3t}{12t+8}=\frac{3t(t+1)}{4(3t+2)}. \] При делении переворачиваем вторую дробь: \[ \frac{3t+2}{t+1}\cdot\frac{4(3t+2)}{3t(t+1)} =\frac{4(3t+2)^2}{3t(t+1)^2}. \]
б) \[ p-\frac{5p}{p+2}=\frac{p(p+2)-5p}{p+2} =\frac{p^2-3p}{p+2}=\frac{p(p-3)}{p+2}. \] \[ \frac{p(p-3)}{p+2}\cdot\frac{p+2}{p-3}=p. \]
в) \[ z+\frac{z^2}{3-z}=\frac{z(3-z)+z^2}{3-z}=\frac{3z}{3-z}. \] Так как \(3-z=-(z-3)\), \[ \frac{z-3}{z+3}\cdot\frac{3z}{3-z} =\frac{z-3}{z+3}\cdot\frac{3z}{-(z-3)} =-\frac{3z}{z+3}. \]
г) \[ \frac{q}{q-5}-2q=\frac{q-2q(q-5)}{q-5} =\frac{q-2q^2+10q}{q-5} =\frac{q(11-2q)}{q-5}. \] \[ \frac{q(11-2q)}{q-5}\cdot\frac{q-5}{11-2q}=q. \]
6.5
а) \[ \frac{6}{x-y}-\frac{5}{x+y} =\frac{6(x+y)-5(x-y)}{(x-y)(x+y)} =\frac{x+11y}{(x-y)(x+y)}. \] \[ \frac{x+11y}{(x-y)(x+y)}\cdot\frac{x-y}{x+11y}=\frac{1}{x+y}. \]
б) \[ a-\frac{a^2}{a+1}=\frac{a(a+1)-a^2}{a+1}=\frac{a}{a+1}. \] \[ \frac{a^2-1}{a^2+2a}=\frac{(a-1)(a+1)}{a(a+2)}. \] \[ \frac{a}{a+1}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{a(a+2)}=\frac{a-1}{a+2}. \]
в) \[ \frac{x-2y}{xy}+\frac{1}{x} =\frac{x-2y}{xy}+\frac{y}{xy} =\frac{x-y}{xy}. \] \[ \frac{x-y}{xy}\cdot\frac{x^2y^2}{x-y}=xy. \]
г) \[ \frac{c}{c+d}+\frac{d}{c-d} =\frac{c(c-d)+d(c+d)}{(c+d)(c-d)} =\frac{c^2+d^2}{c^2-d^2}. \] \[ \frac{cd-d^2}{c^2+d^2}\cdot\frac{c^2+d^2}{c^2-d^2} =\frac{d(c-d)}{c^2+d^2}\cdot\frac{c^2+d^2}{(c-d)(c+d)} =\frac{d}{c+d}. \]
Проверка
В 6.4 г) при \(q=1\): \[ \frac{1}{1-5}-2=-\frac14-2=-\frac94,\qquad \frac{11-2}{1-5}=\frac{9}{-4}=-\frac94, \] деление даёт \(1\), то есть \(q\). Верно.
В 6.5 в) при \(x=2,\ y=1\): \[ \frac{2-2}{2}+\frac12=\frac12,\qquad \frac{x^2y^2}{x-y}=\frac{4}{1}=4, \] произведение равно \(2=xy\). Верно.
Во всех ответах подразумеваются значения переменных, при которых знаменатели не обращаются в ноль.
Обсуждение
4 сообщенияСделать полностьу а не отдельно
Сделал сплошным решением: каждый пункт — полная цепочка преобразований, ответ ставится в конце пункта, без отдельного «списка ответов».
6.4
а) \(\left(2+\dfrac{t}{t+1}\right):\dfrac{3t^2+3t}{12t+8}\)
\[ 2+\frac{t}{t+1}=\frac{2(t+1)+t}{t+1}=\frac{3t+2}{t+1}, \] \[ \frac{3t^2+3t}{12t+8}=\frac{3t(t+1)}{4(3t+2)}, \] \[ \left(2+\frac{t}{t+1}\right):\frac{3t^2+3t}{12t+8} =\frac{3t+2}{t+1}\cdot\frac{4(3t+2)}{3t(t+1)} =\frac{4(3t+2)^2}{3t(t+1)^2}. \]
Ответ: \(\dfrac{4(3t+2)^2}{3t(t+1)^2}\).
б) \(\left(p-\dfrac{5p}{p+2}\right):\dfrac{p-3}{p+2}\)
\[ p-\frac{5p}{p+2}=\frac{p(p+2)-5p}{p+2}=\frac{p^2-3p}{p+2}=\frac{p(p-3)}{p+2}, \] \[ \frac{p(p-3)}{p+2}:\frac{p-3}{p+2} =\frac{p(p-3)}{p+2}\cdot\frac{p+2}{p-3}=p. \]
Ответ: \(p\).
в) \(\left(z+\dfrac{z^2}{3-z}\right):\dfrac{z+3}{z-3}\)
\[ z+\frac{z^2}{3-z}=\frac{z(3-z)+z^2}{3-z}=\frac{3z-z^2+z^2}{3-z}=\frac{3z}{3-z}, \] \[ \frac{3z}{3-z}:\frac{z+3}{z-3} =\frac{3z}{-(z-3)}\cdot\frac{z-3}{z+3}=-\frac{3z}{z+3}. \]
Ответ: \(-\dfrac{3z}{z+3}\).
г) \(\left(\dfrac{q}{q-5}-2q\right):\dfrac{11-2q}{q-5}\)
\[ \frac{q}{q-5}-2q=\frac{q-2q(q-5)}{q-5}=\frac{q-2q^2+10q}{q-5}=\frac{q(11-2q)}{q-5}, \] \[ \frac{q(11-2q)}{q-5}:\frac{11-2q}{q-5} =\frac{q(11-2q)}{q-5}\cdot\frac{q-5}{11-2q}=q. \]
Ответ: \(q\).
6.5
а) \(\left(\dfrac{6}{x-y}-\dfrac{5}{x+y}\right):\dfrac{x+11y}{x-y}\)
\[ \frac{6}{x-y}-\frac{5}{x+y}=\frac{6(x+y)-5(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{6x+6y-5x+5y}{(x-y)(x+y)}=\frac{x+11y}{(x-y)(x+y)}, \] \[ \frac{x+11y}{(x-y)(x+y)}\cdot\frac{x-y}{x+11y}=\frac{1}{x+y}. \]
Ответ: \(\dfrac{1}{x+y}\).
б) \(\left(a-\dfrac{a^2}{a+1}\right)\cdot\dfrac{a^2-1}{a^2+2a}\)
\[ a-\frac{a^2}{a+1}=\frac{a(a+1)-a^2}{a+1}=\frac{a^2+a-a^2}{a+1}=\frac{a}{a+1}, \] \[ \frac{a^2-1}{a^2+2a}=\frac{(a-1)(a+1)}{a(a+2)}, \] \[ \frac{a}{a+1}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{a(a+2)}=\frac{a-1}{a+2}. \]
Ответ: \(\dfrac{a-1}{a+2}\).
в) \(\left(\dfrac{x-2y}{xy}+\dfrac{1}{x}\right)\cdot\dfrac{x^2y^2}{x-y}\)
\[ \frac{x-2y}{xy}+\frac{1}{x}=\frac{x-2y}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{x-y}{xy}, \] \[ \frac{x-y}{xy}\cdot\frac{x^2y^2}{x-y}=xy. \]
Ответ: \(xy\).
г) \(\left(\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{c-d}\right)\cdot\dfrac{cd-d^2}{c^2+d^2}\)
\[ \frac{c}{c+d}+\frac{d}{c-d}=\frac{c(c-d)+d(c+d)}{(c+d)(c-d)}=\frac{c^2-cd+cd+d^2}{c^2-d^2}=\frac{c^2+d^2}{c^2-d^2}, \] \[ \frac{c^2+d^2}{c^2-d^2}\cdot\frac{d(c-d)}{c^2+d^2} =\frac{d(c-d)}{(c-d)(c+d)}=\frac{d}{c+d}. \]
Ответ: \(\dfrac{d}{c+d}\).
Проверка (подстановкой):
6.4 г) при \(q=1\): \(\dfrac{1}{1-5}-2=-\dfrac94\), а \(\dfrac{11-2}{1-5}=\dfrac{9}{-4}=-\dfrac94\); деление даёт \(1=q\). Верно.
6.5 в) при \(x=2,\ y=1\): \(\dfrac{2-2}{2}+\dfrac12=\dfrac12\), \(\dfrac{x^2y^2}{x-y}=4\), произведение \(=2=xy\). Верно.
Во всех пунктах ответ верен при значениях переменных, не обращающих знаменатели в ноль.
Если в номере есть ещё пункты (д, е) — пришли их, допишу в том же виде.
Сделать как в тетрадке по легче
Записал короче — как в тетради: сразу переворачиваем дробь и пишем цепочку без лишних слов.
Правило на весь номер: в скобках приводим к общему знаменателю, при делении переворачиваем вторую дробь, потом сокращаем.
6.4
а) \(\left(2+\dfrac{t}{t+1}\right):\dfrac{3t^2+3t}{12t+8}\)
\[ =\frac{3t+2}{t+1}\cdot\frac{12t+8}{3t^2+3t} =\frac{3t+2}{t+1}\cdot\frac{4(3t+2)}{3t(t+1)} =\frac{4(3t+2)^2}{3t(t+1)^2} \]
б) \(\left(p-\dfrac{5p}{p+2}\right):\dfrac{p-3}{p+2}\)
\[ =\frac{p(p-3)}{p+2}\cdot\frac{p+2}{p-3}=p \]
в) \(\left(z+\dfrac{z^2}{3-z}\right):\dfrac{z+3}{z-3}\)
\[ =\frac{3z}{3-z}\cdot\frac{z-3}{z+3}=-\frac{3z}{z+3} \]
г) \(\left(\dfrac{q}{q-5}-2q\right):\dfrac{11-2q}{q-5}\)
\[ =\frac{q(11-2q)}{q-5}\cdot\frac{q-5}{11-2q}=q \]
6.5
а) \(\left(\dfrac{6}{x-y}-\dfrac{5}{x+y}\right):\dfrac{x+11y}{x-y}\)
\[ =\frac{x+11y}{(x-y)(x+y)}\cdot\frac{x-y}{x+11y}=\frac{1}{x+y} \]
б) \(\left(a-\dfrac{a^2}{a+1}\right)\cdot\dfrac{a^2-1}{a^2+2a}\)
\[ =\frac{a}{a+1}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{a(a+2)}=\frac{a-1}{a+2} \]
в) \(\left(\dfrac{x-2y}{xy}+\dfrac{1}{x}\right)\cdot\dfrac{x^2y^2}{x-y}\)
\[ =\frac{x-y}{xy}\cdot\frac{x^2y^2}{x-y}=xy \]
г) \(\left(\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{c-d}\right)\cdot\dfrac{cd-d^2}{c^2+d^2}\)
\[ =\frac{c^2+d^2}{c^2-d^2}\cdot\frac{d(c-d)}{c^2+d^2}=\frac{d}{c+d} \]
Два места, где легко ошибиться:
- 6.4 в): \(3-z=-(z-3)\), поэтому минус выносим вперёд.
- 6.5 б): \(a^2-1=(a-1)(a+1)\), а \(a^2+2a=a(a+2)\).
Знаменатели не равны нулю — это ограничение задачи, в тетради его обычно не пишут.
