Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).

Сразу оговорюсь: на фото — страница курса истории («Историческое и культурное наследие Средних веков»), самого уравнения там нет. Решаю по тексту задания.

Ключевые шаги

Способ 1. По теореме Виета

Уравнение приведённое: коэффициент при \(x^2\) равен 1, то есть оно имеет вид \[x^2 + px + q = 0,\quad p = -5,\ q = 6.\] Для такого уравнения сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\): \[x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6.\] Остаётся подобрать два числа: их сумма 5, произведение 6. Это 2 и 3.

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.\] \(D > 0\), значит корней два: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2},\] откуда \(x_1 = \frac{5-1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5+1}{2} = 3\).

Проверка подстановкой \[2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0,\] \[3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0.\] Оба корня подходят.

Принцип, который стоит запомнить

В приведённом уравнении \(x^2 + px + q = 0\) корни «зашифрованы» в коэффициентах: их сумма равна \(-p\), произведение равно \(q\). Если числа подбираются легко (как здесь — 2 и 3), Виет экономит время; если нет — берём дискриминант: \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — корней нет.