3. Решите систему неравенств:

Кратко:

а) \([-1;\,3)\cup(4;\,5]\) б) \((-4;\,-1]\cup\{3\}\) в) \(\varnothing\) (при строгом знаке «\(<0\)»)

Как устроены такие задания

Система — это «И»: нужно взять общую часть решений каждого неравенства. Поэтому решаем по очереди, а потом накладываем промежутки на одну числовую прямую. Строгий знак (\(<\), \(>\)) — точка выколота, скобка круглая; нестрогий (\(\le\), \(\ge\)) — точка закрашена, скобка квадратная. Корень знаменателя выколот всегда.

а)

\[ \begin{cases} x^{2}-7x+12>0\\ x^{2}-4x-5\le 0\end{cases} \]

1. \(x^{2}-7x+12=0\): \(D=49-48=1\), \(x_{1}=3,\ x_{2}=4\). Парабола ветвями вверх, значит \(>0\) вне корней: \(x<3\) или \(x>4\).
2. \(x^{2}-4x-5=0\): \(D=16+20=36\), \(x_{1}=-1,\ x_{2}=5\). Знак \(\le 0\) — между корнями: \(-1\le x\le 5\).

Накладываем: от \([-1;5]\) отрезаем середину \([3;4]\).

\[ x\in[-1;\,3)\cup(4;\,5] \]

Проверка концов: \(x=3\): \(9-21+12=0\), а нужно \(>0\) — не годится (выколото). \(x=-1\): \(20>0\) и \(1+4-5=0\le0\) — годится.

б)

\[ \begin{cases} x^{2}-2x-3\ge 0\\ \dfrac{x-3}{x+4}\le 0\end{cases} \]

1. \(x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)\ge 0\) — корни \(-1\) и \(3\), ветви вверх, знак \(\ge 0\) снаружи: \[ x\le-1 \quad\text{или}\quad x\ge 3 \]
2. Дробь: числитель нулевой при \(x=3\), знаменатель — при \(x=-4\) (это ОДЗ: \(x\ne-4\)). Метод интервалов:

• \(x<-4\): минус на минус — «\(+\)»;
• \(-4<x<3\): «\(-\)»;
• \(x>3\): «\(+\)».

Нужно \(\le 0\), значит solution дроби: \((-4;\,3]\).

Пересекаем с \((-\infty;-1]\cup[3;+\infty)\):

\[ x\in(-4;\,-1]\cup\{3\} \]

Отдельная точка \(\{3\}\) остаётся, потому что там числитель равен нулю и оба неравенства выполняются.

в)

\[ \begin{cases} |x+1|\ge 6\\ x^{2}+x-30<0\end{cases} \]

1. Модуль: \(x+1\le-6\) или \(x+1\ge 6\), то есть \(x\le-7\) или \(x\ge 5\).
2. \(x^{2}+x-30=0\): \(D=1+120=121\), корни \(\frac{-1\pm 11}{2}\), то есть \(-6\) и \(5\). Знак «\(<\)» — между корнями: \(-6<x<5\).

Первое решение «убегает» влево от \(-7\) и вправо от \(5\), а второе целиком лежит внутри \((-6;5)\). Общих точек нет:

\[ x\in\varnothing \]

Проверка «самого близкого» кандидата \(x=5\): \(|6|=6\) — подходит, но \(25+5-30=0\), а требуется строго меньше нуля. Значит, и он не годится.

В пункте в) правая часть нижней строки упирается в край кадра, и знак читается как «\(<0\)». Если в учебнике там «\(\le 0\)», то ответ станет \(\{5\}\), потому что точка \(5\) войдёт во второе неравенство.

Что запомнить: сначала корни, потом знаки (парабола или интервалы), потом пересечение. Дробь всегда «выкалывает» знаменатель.