406. Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным: 407. Сравните значения выражений: 408. Сравните значения выражений:

На фото полностью видны 406–408; в 409 обрезаны сами числа, поэтому его по этому кадру не решить. Ниже — 406–408.

406

Для \(k>0\):

\[ k\sqrt{x}=\sqrt{k^{2}x},\qquad -k\sqrt{x}=-\sqrt{k^{2}x}. \]

То есть положительный множитель уходит под корень в квадрате, а минус остаётся перед корнем.

а) \(2\sqrt{2}=\sqrt{8}\);

б) \(5\sqrt{y}=\sqrt{25y}\);

в) \(-7\sqrt{3}=-\sqrt{147}\);

г) \(-6\sqrt{2a}=-\sqrt{72a}\);

д) \(\frac{1}{3}\sqrt{18b}=\sqrt{2b}\);

е) \(-0{,}1\sqrt{200c}=-\sqrt{2c}\).

Переменные под корнями должны быть неотрицательными: \(y\ge0\), \(a\ge0\), \(b\ge0\), \(c\ge0\).

407

Сравниваем положительные числа по их квадратам. Если оба числа отрицательные, сравниваем их модули, а знак неравенства меняем.

а) \(3\sqrt{3}=\sqrt{27}>\sqrt{12}\);

б) \(\sqrt{20}<3\sqrt{5}=\sqrt{45}\);

в) \(5\sqrt{4}=10=\sqrt{100}>4\sqrt{5}=\sqrt{80}\);

г) \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}>3\sqrt{2}=\sqrt{18}\);

д) \(-\sqrt{14}>-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}\), так как \(\sqrt{14}<\sqrt{18}\);

е) \((7\sqrt{0{,}17})^{2}=8{,}33\), \((11\sqrt{0{,}05})^{2}=6{,}05\), поэтому \[ -7\sqrt{0{,}17}<-11\sqrt{0{,}05}. \]

408

а) \(\frac{1}{3}\sqrt{351}=\sqrt{39}\), \(\frac{1}{2}\sqrt{188}=\sqrt{47}\), значит \[ \frac{1}{3}\sqrt{351}<\frac{1}{2}\sqrt{188}. \]

б) \(\frac{1}{3}\sqrt{54}=\sqrt{6}\), \(\frac{1}{5}\sqrt{150}=\sqrt{6}\), значит выражения равны.

в) \(\sqrt{24}=\frac{1}{3}\sqrt{216}\), значит выражения равны.

г) Проверим квадраты: \[ \left(\frac{2}{3}\sqrt{72}\right)^2=32,\qquad \left(7\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2=\frac{98}{3}. \] Так как \(32=\frac{96}{3}<\frac{98}{3}\), то \[ \frac{2}{3}\sqrt{72}<7\sqrt{\frac{2}{3}}. \]

Что запомнить: множитель перед корнем возводится в квадрат, когда его вносят под корень; при сравнении корней удобно сравнивать квадраты; у отрицательных выражений порядок меняется на противоположный.