В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Ответ:
а) \(AH=AO\) — доказано;
б) \(S_{AHO}=\dfrac54=1{,}25\).

а) Точка \(H\) — ортоцентр треугольника \(ABC\). Пусть \(R\) — радиус его описанной окружности, тогда \(AO=R\).

Так как \(BH\perp AC\), а \(\angle BAC=120^\circ\), то \[ \angle ABH=120^\circ-90^\circ=30^\circ. \] Кроме того, \(AH\perp BC\), \(BH\perp AC\), поэтому угол между \(AH\) и \(BH\) равен углу между \(BC\) и \(AC\), то есть \(\angle C\).

По теореме синусов в \(\triangle ABH\): \[ \frac{AH}{\sin30^\circ}=\frac{AB}{\sin C}. \] По теореме синусов в \(\triangle ABC\): \[ AB=2R\sin C. \] Значит, \[ AH=\frac{AB\sin30^\circ}{\sin C} =\frac{2R\sin C\cdot \frac12}{\sin C} =R. \] Но \(AO=R\), следовательно, \[ AH=AO. \]

б) Находим угол \(C\): \[ \angle C=180^\circ-120^\circ-45^\circ=15^\circ. \] По расширенной теореме синусов: \[ R=\frac{BC}{2\sin A} =\frac{\sqrt{15}}{2\sin120^\circ} =\frac{\sqrt{15}}{\sqrt3} =\sqrt5. \] Значит, \[ AH=AO=\sqrt5. \]

Найдём \(\angle HAO\). В равнобедренном треугольнике \(AOB\) \[ \angle AOB=2\angle C=30^\circ, \] поэтому \[ \angle BAO=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ. \] Прямая высоты из \(A\) перпендикулярна \(BC\), поэтому острый угол между \(AH\) и \(AB\) равен \[ 90^\circ-45^\circ=45^\circ. \] Так как угол \(A\) тупой, \(H\) лежит на противоположном луче, и \(\angle BAH=135^\circ\). Следовательно, \[ \angle HAO=360^\circ-135^\circ-75^\circ=150^\circ. \] Площадь: \[ S_{AHO} =\frac12\cdot AH\cdot AO\cdot \sin150^\circ =\frac12\cdot\sqrt5\cdot\sqrt5\cdot\frac12 =\frac54. \]

Что важно запомнить: для ортоцентра \(AH=2R|\cos A|\); при \(A=120^\circ\) это как раз \(R\). В похожих задачах площадь удобно искать через две известные стороны \(AH,AO\) и угол между ними.