объясни метод интервалов на примере х(х-1)(х+5)>0
Краткий ответ: \(x \in (-5;\,0)\cup(1;\,+\infty)\).
Как работает метод интервалов
Находим нули каждого множителя: \[ x=0,\qquad x-1=0 \Rightarrow x=1,\qquad x+5=0 \Rightarrow x=-5. \]
Отмечаем эти числа на числовой прямой. Они делят её на четыре промежутка: \[ (-\infty;-5),\quad (-5;0),\quad (0;1),\quad (1;+\infty). \]
Определяем знак произведения на каждом промежутке. Достаточно взять по одной пробной точке:
- \(x=-6\): \((-6)(-7)(-1)=-42<0\);
- \(x=-1\): \((-1)(-2)(4)=8>0\);
- \(x=0{,}5\): \(0{,}5\cdot(-0{,}5)\cdot5{,}5<0\);
- \(x=2\): \(2\cdot1\cdot7=14>0\).
Получаем чередование знаков: \[ - \quad + \quad - \quad +. \]
- Неравенство строгое: \(x(x-1)(x+5)>0\). Значит, сами точки \(-5\), \(0\) и \(1\) не включаем, а выбираем промежутки со знаком «плюс»: \[ x\in(-5;\,0)\cup(1;\,+\infty). \]
Почему знаки чередуются. Произведение меняет знак только тогда, когда \(x\) проходит через нуль одного из множителей: этот множитель меняет знак, а остальные сохраняют его. Здесь все три корня различны, поэтому при переходе через каждый из них знак меняется.
Проверка: при \(x=-1\) произведение равно \(8>0\), при \(x=2\) равно \(14>0\), а, например, при \(x=0{,}5\) оно отрицательно — всё согласуется с ответом.
Обсуждение
2 сообщенияопределяем знак распиши подробнее
Разберу определение знака по каждому множителю отдельно.
Дано: \[ x(x-1)(x+5)>0. \]
Нули множителей: \[ x=0,\qquad x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x+5=0\Rightarrow x=-5. \]
Эти точки делят числовую прямую на промежутки: \[ (-\infty;-5),\quad (-5;0),\quad (0;1),\quad (1;+\infty). \]
Знаки каждого множителя
Множитель \(x\): \[ x<0 \text{ при } x<0,\qquad x>0 \text{ при } x>0. \]
Множитель \(x-1\): \[ x-1<0 \text{ при } x<1,\qquad x-1>0 \text{ при } x>1. \]
Множитель \(x+5\): \[ x+5<0 \text{ при } x<-5,\qquad x+5>0 \text{ при } x>-5. \]
Таблица знаков
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Промежуток} & x & x-1 & x+5 & \text{Произведение}\\ \hline (-\infty;-5) & - & - & - & -\\ (-5;0) & - & - & + & +\\ (0;1) & + & - & + & -\\ (1;+\infty) & + & + & + & + \end{array} \]
Как читать таблицу:
- на \((-\infty;-5)\): три минуса, значит произведение отрицательное;
- на \((-5;0)\): два минуса и один плюс, значит произведение положительное;
- на \((0;1)\): один минус и два плюса, значит произведение отрицательное;
- на \((1;+\infty)\): три плюса, значит произведение положительное.
Проверим пробными точками:
- \(x=-6\): \((-)(-)(-)=-42<0\);
- \(x=-1\): \((-)(-)(+)=8>0\);
- \(x=\frac12\): \((+)(-)(+)<0\);
- \(x=2\): \((+)(+)(+)=14>0\).
Нам нужно: \[ x(x-1)(x+5)>0, \] то есть подходят только промежутки со знаком «плюс»: \[ (-5;0)\quad\text{и}\quad(1;+\infty). \]
Точки \(-5\), \(0\), \(1\) не включаем, потому что в них произведение равно нулю, а неравенство строгое.
Ответ: \[ x\in(-5;0)\cup(1;+\infty). \]
Почему знаки чередуются: при переходе через каждый корень ровно один множитель меняет знак, поэтому знак всего произведения меняется на противоположный.
