реши номер 231 и 232
Сверь числа и знаки с фото.
- Запишите в виде степени с показателем 2 выражение:
- a²b⁶; 2) x⁸y¹⁴; 3) x⁴y¹⁰z¹⁸; 4) 4m¹²n¹⁶; 5) 81c¹⁰d³²p⁴⁴. [над пунктом 1 рукописная пометка синими чернилами: a²(b³)², далее часть записи неразборчива]
- Запишите в виде степени с показателем 3 выражение:
- a³b⁶; 2) x⁹y¹⁵; 3) 8x¹²y¹⁸z²⁴; 4) 0,001m³⁰n⁴⁵.
Кратко
№ 231 — квадрат (показатель 2):
- \(a^{2}b^{6}=(ab^{3})^{2}\)
- \(x^{8}y^{14}=(x^{4}y^{7})^{2}\)
- \(x^{4}y^{10}z^{18}=(x^{2}y^{5}z^{9})^{2}\)
- \(4m^{12}n^{16}=(2m^{6}n^{8})^{2}\)
- \(81c^{10}d^{32}p^{44}=(9c^{5}d^{16}p^{22})^{2}\)
№ 232 — куб (показатель 3):
- \(a^{3}b^{6}=(ab^{2})^{3}\)
- \(x^{9}y^{15}=(x^{3}y^{5})^{3}\)
- \(8x^{12}y^{18}z^{24}=(2x^{4}y^{6}z^{8})^{3}\)
- \(0{,}001m^{30}n^{45}=(0{,}1m^{10}n^{15})^{3}\)
Как это устроено
Работают два правила:
\[(uv)^{k}=u^{k}v^{k},\qquad (a^{m})^{k}=a^{mk}\]
Значит, чтобы свернуть одночлен в \(k\)-ю степень, каждый показатель должен делиться на \(k\), а внутрь скобки идёт результат деления:
\[a^{mk}=\left(a^{m}\right)^{k}\quad\Longleftrightarrow\quad m=\frac{mk}{k}\]
Шаг 1. Проверяю показатели. В № 231 все показатели чётные: \(2,6,8,14,4,10,18,12,16,10,32,44\). В № 232 все кратны трём: \(3,6,9,15,12,18,24,30,45\).
Шаг 2. Делю каждый показатель на 2 (или на 3).
- \(x^{8}y^{14}\): \(8:2=4\), \(14:2=7\) → \((x^{4}y^{7})^{2}\);
- \(x^{9}y^{15}\): \(9:3=3\), \(15:3=5\) → \((x^{3}y^{5})^{3}\).
Шаг 3. Отдельно разбираюсь с числовым множителем. Он тоже должен быть квадратом или кубом:
\[4=2^{2},\quad 81=9^{2},\quad 8=2^{3},\quad 0{,}001=(0{,}1)^{3}\]
Поэтому \(81c^{10}d^{32}p^{44}=(9c^{5}d^{16}p^{22})^{2}\), а \(0{,}001m^{30}n^{45}=(0{,}1m^{10}n^{15})^{3}\).
Проверка
Возвожу ответ обратно в степень — должен получиться исходный одночлен:
\[(9c^{5}d^{16}p^{22})^{2}=9^{2}c^{5\cdot2}d^{16\cdot2}p^{22\cdot2}=81c^{10}d^{32}p^{44}\ \checkmark\]
\[(2x^{4}y^{6}z^{8})^{3}=8x^{12}y^{18}z^{24}\ \checkmark\]
Вывод-ориентир: если какой-то показатель на 2 (или на 3) не делится, свернуть в такую степень одночленом с целым показателем нельзя — в задачах числа подобраны так, чтобы всё делилось.
Обсуждение
2 сообщенияСделай номер 231 и 232 с объяснением!
Общий принцип
Задачи такого типа просят записать одночлен в виде квадрата (№ 231) или куба (№ 232) другого одночлена. Работают два свойства степени:
\[(ab)^{n}=a^{n}b^{n},\qquad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}\]
Читаем их справа налево — это и есть сворачивание:
\[a^{mn}=\left(a^{m}\right)^{n}\]
Алгоритм для степени \(n\):
- проверяем, что каждый показатель делится на \(n\);
- делим каждый показатель на \(n\) — получаем показатели внутри скобки;
- из коэффициента извлекаем корень \(n\)-й степени (\(2=\sqrt{4}\), \(0{,}1=\sqrt[3]{0{,}001}\));
- записываем произведение в скобках, снаружи ставим степень \(n\);
- проверяем обратным возведением.
Ключевая мысль: показатель уменьшается в \(n\) раз, а не увеличивается. Ошибка «\(x^{8}=(x^{8})^{2}\)» — самая частая.
№ 231. Квадрат одночлена
Здесь \(n=2\), значит все показатели чётные, а коэффициент — полный квадрат.
1) \(a^{2}b^{6}\). Показатели: \(2:2=1\), \(6:2=3\). \[a^{2}b^{6}=\left(ab^{3}\right)^{2}\]
2) \(x^{8}y^{14}\). \(8:2=4\), \(14:2=7\). \[x^{8}y^{14}=\left(x^{4}y^{7}\right)^{2}\]
3) \(x^{4}y^{10}z^{18}\). \(4:2=2\), \(10:2=5\), \(18:2=9\). \[x^{4}y^{10}z^{18}=\left(x^{2}y^{5}z^{9}\right)^{2}\]
4) \(4m^{12}n^{16}\). Коэффициент: \(\sqrt{4}=2\); \(12:2=6\), \(16:2=8\). Множитель 4 тоже «раскладывается», его нельзя оставлять снаружи. \[4m^{12}n^{16}=\left(2m^{6}n^{8}\right)^{2}\]
5) \(81c^{10}d^{32}p^{44}\). \(\sqrt{81}=9\); \(10:2=5\), \(32:2=16\), \(44:2=22\). \[81c^{10}d^{32}p^{44}=\left(9c^{5}d^{16}p^{22}\right)^{2}\]
№ 232. Куб одночлена
Здесь \(n=3\): показатели кратны трём, коэффициент — полный куб.
1) \(a^{3}b^{6}\). \(3:3=1\), \(6:3=2\). \[a^{3}b^{6}=\left(ab^{2}\right)^{3}\]
2) \(x^{9}y^{15}\). \(9:3=3\), \(15:3=5\). \[x^{9}y^{15}=\left(x^{3}y^{5}\right)^{3}\]
3) \(8x^{12}y^{18}z^{24}\). \(\sqrt[3]{8}=2\); \(12:3=4\), \(18:3=6\), \(24:3=8\). \[8x^{12}y^{18}z^{24}=\left(2x^{4}y^{6}z^{8}\right)^{3}\]
4) \(0{,}001m^{30}n^{45}\). \(\sqrt[3]{0{,}001}=0{,}1\), так как \((0{,}1)^{3}=0{,}001\); \(30:3=10\), \(45:3=15\). \[0{,}001m^{30}n^{45}=\left(0{,}1m^{10}n^{15}\right)^{3}\]
Проверка
Возводим ответ обратно — должен получиться исходный одночлен:
\[\left(9c^{5}d^{16}p^{22}\right)^{2}=9^{2}c^{5\cdot 2}d^{16\cdot 2}p^{22\cdot 2}=81c^{10}d^{32}p^{44}\ \checkmark\]
\[\left(2x^{4}y^{6}z^{8}\right)^{3}=2^{3}x^{4\cdot 3}y^{6\cdot 3}z^{8\cdot 3}=8x^{12}y^{18}z^{24}\ \checkmark\]
\[\left(0{,}1m^{10}n^{15}\right)^{3}=0{,}001\,m^{30}n^{45}\ \checkmark\]
Что запомнить
- Делаем деление показателей на 2 (или 3), а не умножение.
- Коэффициент тоже должен быть квадратом/кубом — он входит в скобку.
- Если хоть один показатель не делится на \(n\), свернуть в такую степень нельзя: в задачах числа подобраны так, чтобы всё делилось.
Если в учебнике под этими номерами другие одночлены — пришли фото страницы, сверю и пересчитаю по твоим данным.
