номер 959( в,г)
Сверь числа и знаки с фото.
959 Начертите окружность, заданную уравнением: в) \((x+5)^2+(y-3)^2=25\); г) \((x-1)^2+y^2=4\).
Кратко
в) центр \(O_1(-5;3)\), радиус \(R_1=5\);
г) центр \(O_2(1;0)\), радиус \(R_2=2\).
Как рассуждать
Окружность с центром \((a;b)\) и радиусом \(R\) задаётся уравнением
\[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. \]
Поэтому координаты центра берутся с противоположным знаком по сравнению с числами в скобках, а радиус — это корень из правой части.
в)
\[
(x+5)^2+(y-3)^2=25=5^2.
\]
Здесь \(x+5=x-(-5)\), значит, \(a=-5\), \(b=3\). Центр — \((-5;3)\), радиус — \(5\).
Чтобы начертить, отметьте центр и четыре точки на расстоянии \(5\) от него:
\[
(-10;3),\quad (0;3),\quad (-5;8),\quad (-5;-2).
\]
Через них и проходит окружность.
г)
\[
(x-1)^2+y^2=4=2^2.
\]
Так как \(y^2=(y-0)^2\), центр — \((1;0)\), радиус — \(2\).
Отметьте точки:
\[
(3;0),\quad (-1;0),\quad (1;2),\quad (1;-2).
\]
Это концы горизонтального и вертикального диаметров; по ним удобно построить окружность циркулем.
Проверка: например, для в) точка \((0;3)\):
\[
(0+5)^2+(3-3)^2=25,
\]
значит, она лежит на окружности.
Обсуждение
5 сообщений(x+5)²+(y²-3)²=25
Если в учебнике стоит \((y-3)^2\) (без квадрата у \(y\)), то ответ не меняется: центр \((-5;3)\), радиус \(5\).
Дело в том, что запись \((y^2-3)^2\) — это уже не уравнение окружности: после раскрытия скобок получится \(y^4-6y^2+9\), а четвёртая степень даёт другую кривую. Поэтому в задании на окружность почти наверняка опечатка или невнимательное чтение: должно быть
\[ (x+5)^2+(y-3)^2=25. \]
Здесь \(x+5=x-(-5)\) и \(25=5^2\), значит:
\[ O(-5;\,3),\qquad R=5. \]
Проверка по точкам: \((0;3)\) даёт \((0+5)^2+(3-3)^2=25\) — точка на окружности; \((−10;3)\) даёт \((-10+5)^2+0=25\) — тоже. Обе точки удалены от центра на \(5\), всё сходится.
Посмотрите, пожалуйста, на знак в книге: там \((y-3)^2\) или действительно \(y^2\)? Если \(y^2\), пришлите фото страницы — разберём, что именно требуется.
(x+5)²+(y-3)²=25
Да, это и есть верная запись — значит, в) решено правильно.
\[ (x+5)^2+(y-3)^2=25=5^2 \]
Сравниваем с общим видом \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\):
- \(x+5=x-(-5)\), поэтому \(a=-5\);
- \(y-3=y-3\), поэтому \(b=3\);
- \(R^2=25\), значит \(R=5\).
Ответ: центр \(O(-5;\,3)\), радиус \(R=5\).
Проверка: подставим, например, точку \((-5;8)\) — она выше центра на \(5\): \[ (-5+5)^2+(8-3)^2=0+25=25. \] Точка \((-5;-2)\) — ниже центра на \(5\): \[ 0+(-2-3)^2=25. \] Обе лежат на окружности, значит, радиус и центр найдены верно.
Полезно уметь и обратный переход: если уравнение дано в виде \(x^2+y^2+10x-6y+9=0\), то \[ (x^2+10x+25)+(y^2-6y+9)=25, \] то есть \((x+5)^2+(y-3)^2=25\) — тот же результат.
