Напиши доказательство: из данной точки А, находящейся вне плоскости альфа, проведены к этой плоскости наклонные AB и AC, образующие равные углы с прямой BC, лежащие в плоскости…
Напиши доказательство: из данной точки А, находящейся вне плоскости альфа, проведены к этой плоскости наклонные AB и AC, образующие равные углы с прямой BC, лежащие в плоскости альфа. Докажите что происходит с этих наклонных на плоскость альфа равны между собой
Пусть \(H\) — проекция точки \(A\) на плоскость \(\alpha\). Тогда \(AH\perp\alpha\), поэтому \(AH\perp HB\) и \(AH\perp HC\).
Равные углы наклонных \(AB\) и \(AC\) с прямой \(BC\) дают \(\angle ABC=\angle ACB\), значит, \(\triangle ABC\) равнобедренный: \(AB=AC\).
В прямоугольных треугольниках \(ABH\) и \(ACH\): \[ AB^2=AH^2+HB^2,\qquad AC^2=AH^2+HC^2. \] Так как \(AB=AC\), получаем \(HB=HC\).
Следовательно, проекции наклонных \(AB\) и \(AC\) на плоскость \(\alpha\) равны. \(\blacksquare\)
