Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 3,\qquad x_2 = 2 \]

(оба корня подходят: \(3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) и \(2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\))

Как это устроено

Способ 1. Теорема Виета. Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение \(q\). У нас \(p = -5\), \(q = 6\), значит:

\[ x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \]

Ищу два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Способ 2. Дискриминант (универсальный).

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

\(D > 0\) — два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Проверка. Сумма \(3 + 2 = 5\) совпадает с коэффициентом при \(x\) с обратным знаком, произведение \(3 \cdot 2 = 6\) — со свободным членом. Значит, разложение верное:

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

Принцип на будущее: сначала проверь, легко ли подобрать корни по Виету — так быстрее. Если подбор не идёт, считай дискриминант: \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один, \(D < 0\) — корней нет.