Решите уравнение: 40.2. а) 4ˣ = 1/16; б) 7ˣ = 1/343; в) (1/6)ˣ = 36; г) 0,2ˣ = 0,00032.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Решите уравнение:
40.2. а) $4^{x}=\frac{1}{16}$; б) $7^{x}=\frac{1}{343}$; в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{x}=36$; г) $0,2^{x}=0,00032$.
40.3. а) $10^{x}=\sqrt[4]{1000}$; б) $5^{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{25}}$; в) $0,3^{x}=\sqrt[4]{0,0081}$; г) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=25\sqrt{5}$.
40.4. а) $0,3^{x}=\frac{1000}{27}$; б) $\left(\frac{4}{5}\right)^{x}=\frac{25}{16}$; в) $0,7^{x}=\frac{1000}{343}$; г) $\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\frac{16}{81}$.
40.5. а) $2^{x+1}=4$; б) $5^{2x-1}=0,2$; в) $0,4^{4-5x}=0,16\sqrt{0,4}$; г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3-x}=8\sqrt{2}$.
40.6. а) $3^{1-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$; б) $6^{2x-8}=216^{x}$; в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7}=6^{x-3}$; г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1}=1,5^{2x-3}$.
40.7. а) $3^{2x-4,5}\cdot\sqrt{3}=\frac{1}{27}$; б) $0,5^{2x-5,5}\cdot\sqrt{0,5}=32$; в) $\sqrt{2}^{\,x-1}\cdot2^{x-7,5}=\frac{1}{128}$; г) $0,1^{2x-0,5}\cdot\sqrt{0,1}=0,001$.
40.8. а) $2^{x}\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\frac{1}{9}$; б) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\cdot3^{x}=\sqrt{\frac{27}{125}}$; в) $5^{x}\cdot2^{x}=0,1^{3}$; г) $0,3^{x}\cdot3^{x}=\sqrt[3]{0,81}$.
40.9. а) $\left(\sqrt{12}\right)^{x}\cdot\left(\sqrt{3}\right)^{x}=\frac{1}{6}$; б) $\left(\sqrt[3]{3}\right)^{2x}\cdot\left(\sqrt[3]{9}\right)^{3x}=243$.

Answer

На фото несколько уравнений — привожу ответы для всех пунктов с 40.2 по 40.9.

Ответы (значения $x$):

№ |
а) |
б) |
в) |
г) |

40.2 |
$-2$ |
$-3$ |
$-2$ |
$5$ |

40.4 |
$-3$ |
$-2$ |
$-3$ |
$-4$ |

40.5 |
$1$ |
$0$ |
$0{,}3$ |
$\frac{13}{2}$ |

40.6 |
$-4$ |
$-8$ |
$2$ |
$0{,}2$ |

40.8 |
$-2$ |
$\frac32$ |
$-3$ |
$\frac23$ |

40.9 |
$-1$ |
$\frac{15}{8}$ |
— |
— |

Как решать такие уравнения

Главный приём: привести обе части к степени с одинаковым основанием:

$$
a^u=a^v \quad\Leftrightarrow\quad u=v
$$

при $a>0,\ a\ne1$. Корни и дроби переводим в степени:

$$
\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n},\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}.
$$

Пример 1 — 40.2 в)

$$
\left(\frac16\right)^x=36
$$

Так как $\frac16=6^{-1}$, а $36=6^2$:

$$
6^{-x}=6^2
$$

$$
-x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-2.
$$

Пример 2 — 40.5 в)

$$
0{,}4^{4-5x}=0{,}16\sqrt{0{,}4}
$$

Правая часть:

$$
0{,}16\sqrt{0{,}4}=0{,}4^2\cdot0{,}4^{1/2}=0{,}4^{5/2}.
$$

Значит:

$$
4-5x=\frac52
$$

$$
5x=4-\frac52=\frac32
$$

$$
x=\frac3{10}=0{,}3.
$$

Пример 3 — 40.8 б)

$$
\left(\frac15\right)^x\cdot3^x=\sqrt{\frac{27}{125}}
$$

Слева:

$$
\left(\frac15\right)^x\cdot3^x=\left(\frac35\right)^x.
$$

Справа:

$$
\sqrt{\frac{27}{125}}
=\sqrt{\left(\frac35\right)^3}
=\left(\frac35\right)^{3/2}.
$$

Поэтому:

$$
x=\frac32.
$$

Проверка

Для 40.7 в) при $x=\frac23$:

$$
\sqrt2^{\,x-1}\cdot2^{x-7{,}5}
=2^{-1/6}\cdot2^{-41/6}
=2^{-7}
=\frac1{128}.
$$

Верно.

№	а)	б)	в)	г)
40.2	\(-2\)	\(-3\)	\(-2\)	\(5\)
40.3	\(\frac34\)	\(-\frac12\)	\(1\)	\(-\frac52\)
40.4	\(-3\)	\(-2\)	\(-3\)	\(-4\)
40.5	\(1\)	\(0\)	\(0{,}3\)	\(\frac{13}{2}\)
40.6	\(-4\)	\(-8\)	\(2\)	\(0{,}2\)
40.7	\(\frac12\)	\(0\)	\(\frac23\)	\(\frac32\)
40.8	\(-2\)	\(\frac32\)	\(-3\)	\(\frac23\)
40.9	\(-1\)	\(\frac{15}{8}\)	—	—