Решите уравнение: 40.2. а) 4ˣ = 1/16; б) 7ˣ = 1/343; в) (1/6)ˣ = 36; г) 0,2ˣ = 0,00032.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Решите уравнение:
40.2. а) $4^x = \frac{1}{16}$;
б) $7^x = \frac{1}{343}$;
в) $\left(\frac{1}{6}\right)^x = 36$;
г) $0,2^x = 0,00032$.

40.3. а) $10^x = \sqrt[4]{1000}$;
б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[5]{25}}$;
в) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081}$;
г) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25\sqrt{5}$.

40.4. а) $0,3^x = \frac{1000}{27}$;
б) $\left(\frac{4}{5}\right)^x = \frac{25}{16}$;
в) $0,7^x = \frac{1000}{343}$;
г) $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{16}{81}$.

40.5. а) $2^{x+1} = 4$;
б) $5^{2x-1} = 0,2$;
в) $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4}$;
г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3-x} = 8\sqrt{2}$.

40.6. а) $3^{1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$;
б) $6^{2x-8} = 216^x$;
в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3}$;
г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1,5^{2x-3}$.

40.7. а) $3^{2x-4,5}\cdot\sqrt{3} = \frac{1}{27}$;
б) $0,5^{2x-5,5}\cdot\sqrt{0,5} = 32$;
в) $\sqrt{2^{-1}}\cdot 2^{x-7,5} = \frac{1}{128}$;
г) $0,1^{x-0,5}\cdot\sqrt{0,1} = 0,001$.

40.8. а) $2^x\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{1}{9}$;
б) $\left(\frac{1}{5}\right)^x\cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}}$;
в) $5^x\cdot 2^x = 0,1^3$;
г) $0,3^x\cdot 3^x = \sqrt[3]{0,81}$.

40.9. а) $(\sqrt{12})^x\cdot(\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$;
б) $(\sqrt[3]{3})^{2x}\cdot(\sqrt[3]{9})^{2x} = 243$.

Answer

На фото не отмечен конкретный номер, поэтому ниже — решения всех уравнений 40.2–40.9. Общий приём: приводим обе части к степени одного основания $a>0,\ a\ne1$; тогда показатели можно приравнять:

$$
a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x).
$$

40.2

а) $4^x=4^{-2}\Rightarrow x=-2$;

б) $7^x=7^{-3}\Rightarrow x=-3$;

в) $\left(\frac16\right)^x=\left(\frac16\right)^{-2}\Rightarrow x=-2$;

г) $0{,}2^x=0{,}2^5\Rightarrow x=5$.

40.3

а) $10^x=10^{3/4}\Rightarrow x=\frac34$;

б) $5^x=5^{-2/5}\Rightarrow x=-\frac25$;

в) $0{,}3^x=0{,}3^1\Rightarrow x=1$;

г) $\left(\frac15\right)^x=\left(\frac15\right)^{-5/2}\Rightarrow x=-\frac52$.

40.4

а) $0{,}3^x=0{,}3^{-3}\Rightarrow x=-3$;

б) $\left(\frac45\right)^x=\left(\frac45\right)^{-2}\Rightarrow x=-2$;

в) $0{,}7^x=0{,}7^{-3}\Rightarrow x=-3$;

г) $\left(\frac32\right)^x=\left(\frac32\right)^{-4}\Rightarrow x=-4$.

40.5

а) $2^{x+1}=2^2\Rightarrow x=1$;

б) $5^{2x-1}=5^{-1}\Rightarrow 2x-1=-1\Rightarrow x=0$;

в) $0{,}4^{4-5x}=0{,}4^{5/2}\Rightarrow 4-5x=\frac52\Rightarrow x=\frac3{10}$;

г) $\left(\frac12\right)^{3-x}=2^{7/2}\Rightarrow 2^{x-3}=2^{7/2}\Rightarrow x=\frac{13}{2}$.

40.6

а) $3^{1-x}=3^{-2x-3}\Rightarrow x=-4$;

б) $6^{2x-8}=6^{3x}\Rightarrow x=-8$;

в) $6^{-4x+7}=6^{x-3}\Rightarrow x=2$;

г) $\left(\frac23\right)^{8x+1}=\left(\frac23\right)^{3-2x}\Rightarrow x=\frac15$.

40.7

а) $3^{2x-4{,}5+0{,}5}=3^{-3}\Rightarrow x=\frac12$;

б) $2^{-2x+5{,}5-0{,}5}=2^5\Rightarrow x=0$;

в) $2^{-0{,}5+x-7{,}5}=2^{-7}\Rightarrow x=1$;

г) $10^{-x}=10^{-3}\Rightarrow x=3$.

40.8

а) $\left(2\cdot\frac32\right)^x=3^x=3^{-2}\Rightarrow x=-2$;

б) $\left(\frac35\right)^x=\left(\frac35\right)^{3/2}\Rightarrow x=\frac32$;

в) $10^x=10^{-3}\Rightarrow x=-3$;

г) $0{,}9^x=0{,}9^{2/3}\Rightarrow x=\frac23$.

40.9

а) $(\sqrt{12}\cdot\sqrt3)^x=6^x=6^{-1}\Rightarrow x=-1$;

б) $3^{2x/3}\cdot3^{4x/3}=3^{2x}=3^5\Rightarrow x=\frac52$.

Проверка, например, для 40.7 в при $x=1$:
$$
\sqrt{2^{-1}}\cdot2^{1-7{,}5}=2^{-0{,}5}\cdot2^{-6{,}5}=2^{-7}=\frac1{128}.
$$
Всё верно. Основания положительны и не равны 1, поэтому переход к показателям законен.