7.27
Сверь числа и знаки с фото.
7.27 Постройте отрезок, симметричный отрезку CH относительно начала координат, если: а) C(−7; −2), H(−2; −7); в) C(2; 3), H(−3; −2); б) C(5; 0), H(2; −4); г) C(0; −3), H(−3; 1).
Краткий ответ
При симметрии относительно начала координат \(O(0;0)\) каждая точка переходит в точку с противоположными координатами:
\[ (x;y)\to(-x;-y). \]
Поэтому нужно отметить образы \(C'\) и \(H'\), а затем соединить их:
| Вариант | Образ \(C\) | Образ \(H\) |
|---|---|---|
| а) | \(C'(7;2)\) | \(H'(2;7)\) |
| б) | \(C'(-5;0)\) | \(H'(-2;4)\) |
| в) | \(C'(-2;-3)\) | \(H'(3;2)\) |
| г) | \(C'(0;3)\) | \(H'(3;-1)\) |
Искомый отрезок — это \(C'H'\).
Почему так
При центральной симметрии начало координат является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ. Если \(P(x;y)\) переходит в \(P'(x';y')\), то
\[ \left(\frac{x+x'}{2};\frac{y+y'}{2}\right)=(0;0), \]
откуда \(x'=-x\), \(y'=-y\).
То есть у каждой координаты просто меняется знак. Например, в пункте а):
\[ C(-7;-2)\to C'(7;2),\qquad H(-2;-7)\to H'(2;7). \]
Проверка
Для точки \(C(-7;-2)\) и её образа \(C'(7;2)\) середина отрезка \(CC'\):
\[ \left(\frac{-7+7}{2};\frac{-2+2}{2}\right)=(0;0). \]
Для \(H(-2;-7)\) и \(H'(2;7)\):
\[ \left(\frac{-2+2}{2};\frac{-7+7}{2}\right)=(0;0). \]
Значит, начало координат действительно является центром симметрии.
Полезно не путать: относительно оси \(x\) меняется только знак \(y\), относительно оси \(y\) — только знак \(x\), а относительно начала координат — оба знака.
