Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ: 29,86 (в поле ввода — 29.86 или 29,86, без пробелов).

Как считаем:

1. Отдельно извлекаем каждый корень. \(\sqrt{0{,}0049} = 0{,}07\), потому что \(0{,}07^2 = 0{,}0049\). \(\sqrt{900} = 30\), потому что \(30^2 = 900\).

2. Подставляем в выражение: \[ -2\sqrt{0{,}0049}+\sqrt{900} = -2\cdot 0{,}07 + 30 = -0{,}14 + 30 = 29{,}86. \]

Проверка: \(30 - 0{,}14 = 29{,}86\) — сходится.

Принцип на похожие задания: корень из десятичной дроби удобно считать через степени десятки: \(0{,}0049 = 49\cdot 10^{-4}\), значит \(\sqrt{0{,}0049} = 7\cdot 10^{-2} = 0{,}07\). Арифметический корень всегда неотрицателен, поэтому никаких «±» здесь не пишем.

Ответ: 8 (в поле — просто 8).

Это то же самое задание, что и раньше: тема «Действительные числа. Арифметический квадратный корень», 8 класс. Поэтому решаю в том же ключе.

Как считаем:

1. Произведение двух одинаковых корней — это просто подкоренное число: \[ \sqrt{\frac{4}{5}}\cdot\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{4}{5}. \]

2. Умножаем на \(-5\): \[ -5\cdot\frac{4}{5} = -4. \]

3. Квадрат произведения — возводим в квадрат каждый множитель: \[ (2\sqrt{3})^2 = 2^2\cdot(\sqrt{3})^2 = 4\cdot 3 = 12. \]

4. Складываем: \[ -4 + 12 = 8. \]

Проверка: \(\sqrt{4/5} \approx 0{,}894\), два таких корня дают \(0{,}8\), умножить на \(-5\) будет \(-4\); \((2\sqrt3)^2 = 12\); итого \(8\). Сходится.

Принцип для похожих примеров: \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a \ge 0\) и \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = a\). Поэтому одинаковые корни при умножении «схлопываются», а при возведении в квадрат выражения вида \(k\sqrt{a}\) квадрат даёт \(k^2 a\).

Ответ: \(x_1 = 0,\ x_2 = 4\).

Это тот же предмет и класс (Алгебра, 8 класс, «Арифметический квадратный корень»), просто вопрос №10 — поэтому продолжаю в том же ключе. Задание письменное, поэтому ниже — готовое решение с рисунком, которое можно перенести в тетрадь.

Решение (графически)

1. Область определения: \(x \ge 0\) (под корнем не может быть отрицательного числа).

2. Строим в одной системе координат два графика:

• \(y = \sqrt{x}\) — ветвь параболы. Точки для таблицы: \[ (0;0),\ (1;1),\ (4;2),\ (9;3). \]
• \(y = \dfrac{x}{2}\) — прямая, проходящая через начало координат. Точки: \[ (0;0),\ (2;1),\ (4;2). \]

3. Находим точки пересечения графиков — их две: \[ (0;0) \quad\text{и}\quad (4;2). \]

4. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения: \[ x_1 = 0,\qquad x_2 = 4. \]

Проверка подстановкой

• \(x = 0\): \(\dfrac{0}{2} = 0\) и \(\sqrt{0} = 0\). Верно.
• \(x = 4\): \(\dfrac{4}{2} = 2\) и \(\sqrt{4} = 2\). Верно.

Ответ: \(x_1 = 0;\ x_2 = 4\).

Принцип: графический способ — это «нарисовать левую и правую части как функции и посмотреть, где они пересекаются». Абсциссы точек пересечения — корни. Важно помнить: у \(\sqrt{x}\) график начинается только при \(x \ge 0\), поэтому левее оси \(Oy\) пересечений искать не нужно.

Это задание №10 из той же работы — уравнение \(\sqrt{x} = \dfrac{x}{2}\), решить графически. Вот как выполнить его самой, по шагам.

Шаг 1. Запиши уравнение в виде двух функций

Раздели на две части — левую и правую: \[ y = \sqrt{x}, \qquad y = \dfrac{x}{2}. \] Дальше ты строишь два графика в одной системе координат. Корни уравнения — это \(x\)-координаты точек, где графики пересеклись.

Шаг 2. Определи область определения

Под корнем не может быть отрицательного числа, значит \(x \ge 0\). Это важно: график корня будет только справа от оси \(Oy\), левее искать пересечения бессмысленно.

Шаг 3. Составь таблицу значений для \(y = \sqrt{x}\)

Бери такие \(x\), из которых корень извлекается точно: \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 4 & 9\\ \hline y=\sqrt{x} & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \] Отметь эти четыре точки и проведи через них плавную кривую — это ветвь параболы.

Шаг 4. Составь таблицу значений для \(y = \dfrac{x}{2}\)

Прямой достаточно двух точек (лучше трёх для контроля): \[ \begin{array}{c|c|c|c} x & 0 & 2 & 4\\ \hline y=\frac{x}{2} & 0 & 1 & 2 \end{array} \] Отметь точки и проведи прямую через них.

Шаг 5. Найди точки пересечения

Посмотри на чертёж: кривая и прямая встречаются в двух местах — в начале координат \((0;0)\) и в точке \((4;2)\). Выпиши абсциссы (первые координаты): \[ x_1 = 0,\qquad x_2 = 4. \]

Шаг 6. Сделай проверку и запиши ответ

Подставь каждый корень в исходное уравнение:

• \(x = 0\): \(\sqrt{0} = 0\), \(\dfrac{0}{2} = 0\) — верно;
• \(x = 4\): \(\sqrt{4} = 2\), \(\dfrac{4}{2} = 2\) — верно.

Ответ: \(x_1 = 0;\ x_2 = 4\).

Что обычно засчитывают как ошибку

• Забыть про \(x \ge 0\) и рисовать корень левее нуля.
• Взять для корня «неудобные» \(x\) (2, 3, 5) — точки получаются приблизительные, и пересечение видно плохо.
• Указать в ответе \(y\) вместо \(x\): корень уравнения — это всегда \(x\).

Изображение-файл я нарисовать не могу, поэтому даю точную схему графика по клеткам — её легко перенести в тетрадь, и точки пересечения на ней видны сразу.

Схема (каждый символ — узел сетки):

y
3 |  .  .  .  .  .  .  x  .  .  o
2 |  .  .  .  .  @  .  .  .  .  .
1 |  .  o  x  .  .  .  .  .  .  .
0 |  @  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  +--------------------------------
     0  1  2  3  4  5  6  7  8  9   x

• o — точки графика \(y=\sqrt{x}\): \((1;1)\) и \((9;3)\);
• x — точки прямой \(y=\dfrac{x}{2}\): \((2;1)\) и \((6;3)\);
• @ — точки пересечения: \((0;0)\) и \((4;2)\).

Как перенести это в тетрадь

1. Начерти оси: ось \(Ox\) — вправо, ось \(Oy\) — вверх, начало координат в левом нижнем углу листа.
2. Возьми масштаб: 1 клетка = 1 единица по обеим осям (тогда по \(x\) нужно 9–10 клеток, по \(y\) — 3–4).
3. Поставь точки корня: \((0;0)\), \((1;1)\), \((4;2)\), \((9;3)\) — и проведи через них плавную выпуклую вверх кривую. Начало кривой — в точке \((0;0)\), левее оси \(Oy\) её нет.
4. Поставь точки прямой: \((0;0)\), \((2;1)\), \((4;2)\), \((6;3)\) — и проведи через них линейкой прямую.
5. Обведи кружками две точки, где линии встретились: \((0;0)\) и \((4;2)\).

Почему пересечений ровно два

До \(x=4\) прямая идёт ниже корня (например, при \(x=1\): \(1 > 0{,}5\)), после \(x=4\) — выше (при \(x=9\): \(3 < 4{,}5\)). Значит линии встречаются только в начала координат и в \(x=4\).

Ответ: \(x_1 = 0;\ x_2 = 4\).

Это задание №9 из той же работы (Алгебра, 8 класс, «Арифметический квадратный корень»), поэтому продолжаю в том же ключе. Здесь нужен график \(y=\sqrt{x}\) и чтение по нему — то есть обратная задача к тому, что мы делали с уравнением \(\sqrt{x}=\frac{x}{2}\).

Краткий ответ

а) при \(x=1;\,1{,}5;\,4;\,6{,}5\): \(\ y = 1;\ \approx1{,}2;\ 2;\ \approx2{,}5\).

б) при \(y=0;\,0{,}5;\,1{,}7;\,2{,}2\): \(\ x = 0;\ 0{,}25;\ 2{,}89;\ 4{,}84\).

Шаг 1. Строим график

Таблица точек (бери \(x\), из которых корень извлекается точно):

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 4 & 9\\ \hline y=\sqrt{x} & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \]

Схема по клеткам (1 клетка = 1 единица):

y
3 |  .  .  .  .  .  .  .  .  .  o
2 |  .  .  .  .  o  .  .  .  .  .
1 |  .  o  .  .  .  .  .  .  .  .
0 |  o  .  .  .  .  .  .  .  .  .
  +--------------------------------
     0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  x

Через отмеченные точки проведи плавную кривую, выпуклую вверх; начинается она в \((0;0)\), левее оси \(Oy\) её нет (область определения \(x\ge0\)).

Шаг 2. Пункт а) — по \(x\) находим \(y\)

Опускаем из точки графика перпендикуляр на ось \(Oy\):

\[ \sqrt{1}=1,\qquad \sqrt{1{,}5}\approx1{,}22,\qquad \sqrt{4}=2,\qquad \sqrt{6{,}5}\approx2{,}55. \]

По графику это читается так: при \(x=1{,}5\) высота около \(1{,}2\) (чуть выше \(1\)), при \(x=6{,}5\) — около \(2{,}5\) (чуть ниже \(3\)).

Шаг 3. Пункт б) — по \(y\) находим \(x\)

Здесь идём в обратную сторону: \(\sqrt{x}=y \Rightarrow x=y^{2}\).

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} y & 0 & 0{,}5 & 1{,}7 & 2{,}2\\ \hline x=y^{2} & 0 & 0{,}25 & 2{,}89 & 4{,}84 \end{array} \]

Графически: на высоте \(y=0\) точка одна — \((0;0)\), значит \(x=0\); на высоте \(y=0{,}5\) линия ещё почти прижата к оси \(Oy\), поэтому \(x\) чуть больше нуля (\(\approx0{,}25\)); высоте \(y=1{,}7\) отвечает \(x\approx2{,}9\) (между \(1\) и \(4\), ближе к \(4\)); высоте \(y=2{,}2\) — \(x\approx4{,}8\) (между \(4\) и \(9\), ближе к \(4\)).

Проверка

\[ 1{,}22^2\approx1{,}49\approx1{,}5;\quad 2{,}55^2\approx6{,}5; \] \[ 1{,}7^2=2{,}89;\qquad 2{,}2^2=4{,}84. \]

Всё сходится. При оформлении в тетради важно указать, что пункты а) и б) взяты с помощью графика, поэтому у «неровных» значений допустима запись с приближением (\(\approx\)).

Что засчитывают как ошибку: искать \(x\) для пункта б) по формуле \(x=\sqrt{y}\), а не \(x=y^2\); и брать для графика \(x<0\) — таких точек на графике нет.

Ответ: вариант 1 — \(x = -0{,}9;\ 0{,}9\).

Это вопрос №4 из той же контрольной («Действительные числа. Арифметический квадратный корень», 8 класс), поэтому решаю в том же ключе.

Решение

\[ x^2 = 0{,}81 \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt{0{,}81} = \pm 0{,}9, \] то есть \[ x_1 = -0{,}9,\qquad x_2 = 0{,}9. \]

Проверка

\[ 0{,}9^2 = 0{,}81,\qquad (-0{,}9)^2 = 0{,}81. \] Оба числа подходят, значит корней два.

Почему остальные варианты неверны

• Вариант 2 («нет корней») — так бывает только при \(x^2 = a\), где \(a<0\); здесь \(0{,}81>0\).
• Варианты 3 и 4 — это ловушка на путаницу между уравнением \(x^2 = a\) и арифметическим корнем \(\sqrt{a}\). Арифметический корень \(\sqrt{0{,}81} = 0{,}9\) действительно только неотрицательный, но в уравнении \(x^2=a\) корня два: \(\pm\sqrt{a}\).

Принцип: уравнение \(x^2 = a\) при \(a>0\) всегда имеет два противоположных корня \(x=\pm\sqrt{a}\); при \(a=0\) — один корень \(x=0\); при \(a<0\) — корней нет.

Ответ: вариант 2 — «нет корней».

Это вопрос №5 из той же контрольной (Алгебра, 8 класс, «Действительные числа. Арифметический квадратный корень»), поэтому решаю так же подробно, как предыдущие.

Решение

\[ 2x^{2}+72=0 \]

1. Переносим 72 вправо с противоположным знаком: \[ 2x^{2}=-72 \]

2. Делим обе части на 2: \[ x^{2}=-36 \]

3. Квадрат действительного числа всегда неотрицателен: \(x^{2}\ge 0\) при любом \(x\). А справа стоит отрицательное число \(-36\). Значит, ни одно действительное число не подходит — корней нет.

Почему остальные варианты неверны

• Варианты 1, 3, 4 (\(-6;\ 6\), \(-6\), \(6\)) — ловушка: ученик «узнаёт» число 36 и механически пишет \(\pm 6\), не заметив знак минус. Проверка: \(2\cdot 6^{2}+72 = 2\cdot 36+72 = 72+72 = 144 \ne 0\), и с \(-6\) так же — не подходит.
• Вариант 2 — единственно верный.

Принцип (то же правило, что в вопросе №4, только с другой стороны)

Уравнение \(x^{2}=a\):

• \(a>0\) — два корня \(x=\pm\sqrt{a}\);
• \(a=0\) — один корень \(x=0\);
• \(a<0\) — корней нет.

Сначала всегда приводи уравнение к виду \(x^{2}=a\), а потом смотри на знак \(a\).

Ответ: вариант 1 — \(11\) и \(12\).

Это вопрос №6 из той же контрольной (Алгебра, 8 класс, «Действительные числа. Арифметический квадратный корень»), так что продолжаю в том же ключе.

Решение

1. Ищем два соседних целых числа, чьи квадраты «окружают» число 125: \[ 11^{2}=121,\qquad 12^{2}=144. \]
2. Сравниваем: \[ 121<125<144 \;\Rightarrow\; \sqrt{121}<\sqrt{125}<\sqrt{144} \;\Rightarrow\; 11<\sqrt{125}<12. \] Значит \(\sqrt{125}\approx 11{,}18\) — между 11 и 12.

Проверка: \(11{,}18^{2}\approx 125{,}0\) — сходится.

Почему остальные варианты неверны

• Вариант 2, \(-11\) и \(-12\): \(\sqrt{125}\) — арифметический корень, он всегда неотрицателен, отрицательным быть не может.
• Вариант 3, \(10\) и \(11\): \(10^2=100\), \(11^2=121\), а \(125>121\), то есть число больше 11.
• Вариант 4, \(12\) и \(13\): \(12^2=144>125\), значит \(\sqrt{125}<12\).

Принцип: чтобы оценить корень, находи ближайшие точные квадраты снизу и сверху — целые числа между их корнями и будут ответом. Полезно помнить квадраты до 15: \(100,\ 121,\ 144,\ 169,\ 196,\ 225\).

На скриншоте выбран вариант 2 (−11 и −12) — он неверный. Правильный ответ здесь — вариант 1: 11 и 12.

Почему выбор №2 не подходит

\(\sqrt{125}\) — это арифметический квадратный корень, а он по определению неотрицателен: \(\sqrt{125}\approx 11{,}18>0\). Отрицательные числа \(-11\) и \(-12\) лежат на другой стороне от нуля, и \(\sqrt{125}\) между ними оказаться не может.

Почему верно 11 и 12

\[ 11^{2}=121,\qquad 12^{2}=144,\qquad 121<125<144. \] Извлекаем корень из всех трёх чисел — порядок сохраняется: \[ 11<\sqrt{125}<12. \]

Проверка: \(11{,}18^{2}\approx 125{,}0\) — сходится.

Так что переключите выбор на вариант 1 и нажмите «Ответить». Если после отправки результат не сойдётся — напишите, разберём ещё раз.

Ответ: кнопка 2 — вариант б) \(0{,}4;\ \sqrt{0{,}19};\ \sqrt{27};\ 6;\ \sqrt{38}\).

Это вопрос №7 из той же контрольной (Алгебра, 8 класс, «Действительные числа. Арифметический квадратный корень»), продолжаю в том же ключе. Обратите внимание: на панели ответов варианты перемешаны, поэтому нужен именно номер 2 (рядом с ним подписано «б)»).

Как сравнивать — по шагам

1. \(0{,}4\) и \(\sqrt{0{,}19}\). Возводим оба в квадрат: \[ 0{,}4^{2}=0{,}16,\qquad (\sqrt{0{,}19})^{2}=0{,}19. \] Так как \(0{,}16<0{,}19\), то \(0{,}4<\sqrt{0{,}19}\).

2. \(6\) и \(\sqrt{27}\). \[ 6^{2}=36>27 \;\Rightarrow\; 6>\sqrt{27}. \]

3. \(6\) и \(\sqrt{38}\). \[ 6^{2}=36<38 \;\Rightarrow\; 6<\sqrt{38}. \]

4. Приближённые значения для контроля: \[ \sqrt{0{,}19}\approx0{,}44,\qquad \sqrt{27}\approx5{,}2,\qquad \sqrt{38}\approx6{,}2. \]

Собираем по возрастанию: \[ 0{,}4 \;(0{,}4)\;<\;\sqrt{0{,}19}\;(0{,}44)\;<\;\sqrt{27}\;(5{,}2)\;<\;6\;<\;\sqrt{38}\;(6{,}2). \]

Почему остальные неверны

• Вариант а) — перепутаны местами \(\sqrt{0{,}19}\) и \(0{,}4\): корень больше, а не меньше.
• Вариант в) — те же перепутанные первые два числа плюс \(6\) поставлено раньше \(\sqrt{27}\), хотя \(6>5{,}2\).
• Вариант г) — неверно \(0{,}4<\sqrt{0{,}19}\) исправлено, но \(6\) снова стоит перед \(\sqrt{27}\).

Принцип: сравнивать корень с обычным числом удобнее всего, возведя оба в квадрат (все числа здесь неотрицательны, поэтому знак сравнения сохраняется).

Ответ: вариант 1 — точка \(C(81;\,9)\).

Это вопрос №8 из той же контрольной (Алгебра, 8 класс, «Действительные числа. Арифметический квадратный корень»), поэтому продолжаю в том же ключе.

Как проверять

Точка \((x;y)\) лежит на графике \(y=\sqrt{x}\), если при подстановке её координат получается верное равенство.

1. \(C(81;9)\): \(\sqrt{81}=9\) — совпадает с \(y=9\). ✅ Верно.
2. \(Д(9;81)\): \(\sqrt{9}=3\), а в точке записано \(y=81\). \(3\ne 81\). ❌ Здесь перепутаны \(x\) и \(y\).
3. \(A(-9;81)\): под корнем отрицательное число, \(\sqrt{-9}\) не существует, да и \(81\ne\sqrt{-9}\). ❌
4. \(B(-81;-9)\): \(x=-81\) не входит в область определения, а кроме того \(y=-9<0\), хотя \(\sqrt{x}\ge 0\) всегда. ❌

Почему так

• Область определения: \(x\ge 0\) — график \(y=\sqrt{x}\) целиком лежит в правой полуплоскости. Поэтому точки с отрицательными абсциссами (\(A\) и \(B\)) сразу отпадают, без всяких вычислений.
• Область значений: \(y\ge 0\) — арифметический корень не бывает отрицательным. Это тоже сразу «убивает» точку \(B\).
• Остаётся убедиться, что \(\sqrt{81}=9\), то есть \(9^2=81\).

Принцип: для точки на графике функции первая координата — это \(x\) (аргумент), вторая — \(y\) (значение). Подставили \(x\) в формулу, посчитали — если получилось ровно \(y\), точка принадлежит графику. И всегда сверяйтесь с областью определения: у \(\sqrt{x}\) это \(x\ge 0\).