Решить задание 312
Сверь числа и знаки с фото.
312 Для данных числовых наборов составьте таблицу отклонений от среднего и квадратов отклонений от среднего и найдите дисперсию: а) -1, 0, 4; б) 2, 3, 7; в) -3, 1, 2, 4; г) 2, 6, 7, 5; д) -2, -1, 1, 2, 5; е) -1, -3, -2, 3, 3.
Краткий ответ: \[ \text{а) }4\frac{2}{3};\quad \text{б) }4\frac{2}{3};\quad \text{в) }6{,}5;\quad \text{г) }3{,}5;\quad \text{д) }6;\quad \text{е) }6{,}4. \]
Как считать. Сначала находим среднее арифметическое: \[ \bar x=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}. \] Потом для каждого числа считаем отклонение \(x_i-\bar x\) и его квадрат. Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений: \[ D=\frac{(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\ldots+(x_n-\bar x)^2}{n}. \]
Например, в пункте а: \[ \bar x=\frac{-1+0+4}{3}=1. \] Отклонения: \(-2;\ -1;\ 3\), их квадраты: \(4;\ 1;\ 9\). Значит, \[ D=\frac{4+1+9}{3}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}. \]
| № | Среднее \(\bar x\) | \(x_i\) | Отклонения \(x_i-\bar x\) | Квадраты отклонений | Сумма квадратов | Дисперсия \(D\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| а | \(1\) | \(-1;\ 0;\ 4\) | \(-2;\ -1;\ 3\) | \(4;\ 1;\ 9\) | \(14\) | \(4\frac{2}{3}\) |
| б | \(4\) | \(2;\ 3;\ 7\) | \(-2;\ -1;\ 3\) | \(4;\ 1;\ 9\) | \(14\) | \(4\frac{2}{3}\) |
| в | \(1\) | \(-3;\ 1;\ 2;\ 4\) | \(-4;\ 0;\ 1;\ 3\) | \(16;\ 0;\ 1;\ 9\) | \(26\) | \(6{,}5\) |
| г | \(5\) | \(2;\ 6;\ 7;\ 5\) | \(-3;\ 1;\ 2;\ 0\) | \(9;\ 1;\ 4;\ 0\) | \(14\) | \(3{,}5\) |
| д | \(1\) | \(-2;\ -1;\ 1;\ 2;\ 5\) | \(-3;\ -2;\ 0;\ 1;\ 4\) | \(9;\ 4;\ 0;\ 1;\ 16\) | \(30\) | \(6\) |
| е | \(0\) | \(-1;\ -3;\ -2;\ 3;\ 3\) | \(-1;\ -3;\ -2;\ 3;\ 3\) | \(1;\ 9;\ 4;\ 9;\ 9\) | \(32\) | \(6{,}4\) |
Проверка: сумма отклонений в каждом наборе равна нулю — так и должно быть, потому что среднее является «точкой равновесия». Например, для пункта а: \(-2+(-1)+3=0\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Хороший вопрос — здесь \(x\) — это не какое-то новое число, а просто имя для чисел набора.
Что значит \(x_i\)
Когда в наборе несколько чисел, их удобно нумеровать:
\[ x_1 \text{ — первое число},\quad x_2 \text{ — второе},\quad \ldots,\quad x_n \text{ — последнее}. \]
Запись \(x_i\) читается «икс с индексом и» и означает i-е число набора. Индекс — это не степень, а просто номер. Если \(i=2\), то \(x_2\) — второе число.
Например, в пункте б набор такой: \(2;\ 3;\ 7\). Тогда
\[ x_1=2,\qquad x_2=3,\qquad x_3=7,\qquad n=3. \]
Среднее already нашли:
\[ \bar x=\frac{2+3+7}{3}=4. \]
Теперь по очереди подставляем каждое число вместо \(x_i\):
\[ x_1-\bar x=2-4=-2,\qquad (x_1-\bar x)^2=(-2)^2=4; \]
\[ x_2-\bar x=3-4=-1,\qquad (x_2-\bar x)^2=(-1)^2=1; \]
\[ x_3-\bar x=7-4=3,\qquad (x_3-\bar x)^2=3^2=9. \]
То есть \(x_i-\bar x\) — это на сколько i-е число отличается от среднего. А \((x_i-\bar x)^2\) — тот же «отрыв от среднего», только возведённый в квадрат.
Складываем квадраты и делим на количество чисел:
\[ D=\frac{4+1+9}{3}=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}. \]
Зачем возводить в квадрат
Если просто сложить отклонения, они всегда дадут ноль:
\[ -2+(-1)+3=0. \]
Потому что одни числа меньше среднего, другие больше, и «минусы» гасят «плюсы». Квадрат убирает знак и заодно сильнее учитывает большие отрывы от среднего. Поэтому в формуле дисперсии стоит \((x_i-\bar x)^2\).
Коротко алгоритм
- Найти среднее \(\bar x\).
- Для каждого числа найти отклонение \(x_i-\bar x\).
- Возвести каждое отклонение в квадрат.
- Сложить квадраты.
- Разделить сумму на количество чисел \(n\).
Проверь себя: для набора \(1;\ 2;\ 3;\ 4\) среднее равно \(2{,}5\), а дисперсия должна получиться \(1{,}25\). Если хочешь, разберём и этот пример по шагам.
