ДЗ 23. Обратные и равносильные утверждения. Признаки и свойства. Необходимые и достаточные условия

Теперь вижу точную формулировку задания — это продолжение того же задания, и мой предыдущий ответ нужно уточнить по расположению полей.

Ответ для выпадающих списков

В утверждении «если \(A\), то \(B\)»:

Верхняя строка (является достаточным условием для): \[ A \quad \text{является достаточным условием для} \quad B \] То есть в первом списке выбираем \(A\), во втором — \(B\).

Нижняя строка (является необходимым условием для): \[ B \quad \text{является необходимым условием для} \quad A \] То есть в первом списке выбираем \(B\), во втором — \(A\).

Обоснование

• \(A \Rightarrow B\) означает: как только выполнено \(A\), уже гарантировано \(B\). Значит, \(A\) — достаточное условие для \(B\).
• Если \(B\) не выполнено, то и \(A\) не может быть выполнено (иначе из \(A\) следовало бы \(B\)). Значит, \(B\) — необходимое условие для \(A\).

Проверку на примере с делимостью на 4 и на 2 я приводил выше — она подтверждает эту расстановку.

По изображению видно, что это продолжение той же темы (необходимые и достаточные условия, признаки и свойства), но уже конкретное задание с выбором слов. Отвечу по нему.

Ответ

В предложении:

«[Перпендикулярность диагоналей] является [свойством] ромба»

нужно выбрать:

1. В первом выпадающем списке — «перпендикулярность диагоналей».
2. Во втором выпадающем списке — «свойством».

Итоговая фраза должна выглядеть так:

Перпендикулярность диагоналей является свойством ромба.

Почему именно так

В геометрии есть два разных типа утверждений:

• Свойство — то, что обязательно выполняется у фигуры. Если перед нами ромб, то его диагонали обязательно перпендикулярны. Это и есть данное в условии утверждение.
• Признак — то, по чему можно гарантированно узнать фигуру. Например, для ромба признаком является равенство всех сторон или перпендикулярность диагоналей у параллелограмма.

Перпендикулярность диагоналей сама по себе не гарантирует, что перед нами ромб: у воздушного змея (дельтоида) диагонали тоже перпендикулярны, но это не ромб. Поэтому это именно свойство, а не признак.

Это продолжение той же темы — «Признаки и свойства. Необходимые и достаточные условия», поэтому отвечаю по новому заданию.

Ответ

В выпадающем списке нужно выбрать:

признаком

Полная фраза:

Утверждение «если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом» является признаком ромба.

Почему

• Признак позволяет установить, что перед нами нужная фигура. Здесь по условию (параллелограмм, диагонали делят углы пополам) мы делаем вывод: это ромб. Значит, данное утверждение — признак ромба.
• Свойство — это то, что выполняется у всех ромбов. Например, фраза «в ромбе диагонали делят его углы пополам» была бы свойством. Но в задании дано не просто свойство ромба, а условие, по которому ромб распознаётся.

Поэтому в списке выбираем «признаком».

Это продолжение той же темы (обратные утверждения, признаки и свойства), поэтому разбираю новое задание.

Ответ

Исходное утверждение: «если натуральное число делится на \(6\), то это число делится на \(3\)».

• Исходное утверждение — выбери «истинно» (или «верно», если в списке такая формулировка).
• Его обратное утверждение — выбери «ложно» (или «неверно»).

Почему

Обратное утверждение получается перестановкой условия и заключения:

«если натуральное число делится на \(3\), то это число делится на \(6\)».

Проверяем:

1. Исходное верно. Делимость на \(6\) означает, что число равно \(6k\). Но \(6k = 3 \cdot 2k\), то есть делится и на \(3\). Значит, из делимости на \(6\) всегда следует делимость на \(3\).
2. Обратное ложно. Контрпример — число \(3\): оно делится на \(3\), но на \(6\) не делится. То есть из делимости на \(3\) делимость на \(6\) не следует.

Смысл задания

Здесь \(6\) — достаточное условие делимости на \(3\), а делимость на \(3\) — необходимое условие делимости на \(6\). Обратное утверждение не равносильно исходному, поэтому оно и оказывается ложным.

Это продолжение той же темы — то же домашнее задание, только другие числа. Разбираю задание №5.

Ответ

Дано утверждение:

«Если натуральное число делится на \(5\), то это число делится на \(3\)».

В выпадающих списках нужно выбрать:

• Исходное утверждение — ложно;
• его обратное утверждение — ложно.

Почему

Исходное утверждение ложно.
Контрпример: число \(5\). Оно делится на \(5\), но не делится на \(3\). Значит, утверждение «из делимости на \(5\) следует делимость на \(3\)» неверно.

Обратное утверждение получается перестановкой условия и заключения:

«Если натуральное число делится на \(3\), то это число делится на \(5\)».

Оно тоже ложно.
Контрпример: число \(3\). Оно делится на \(3\), но не делится на \(5\).

\[ 5 \text{ делится на } 5,\ \text{но не на } 3; \qquad 3 \text{ делится на } 3,\ \text{но не на } 5. \]

Поэтому оба утверждения — ложные.

Это продолжение той же темы — следующее задание из того же ДЗ (равносильные утверждения). Отвечаю по нему.

Ответ

Два утверждения:

1. «Натуральное число делится на \(3\)»;
2. «Сумма цифр десятичной записи натурального числа делится на \(3\)»

равносильны. В выпадающем списке нужно выбрать вариант со смыслом «равносильные утверждения» (или, если список составлен из условий, — «каждое является необходимым и достаточным условием для другого»).

Почему

Это признак делимости на \(3\), и он работает в обе стороны:

• Если число делится на \(3\), то и сумма его цифр делится на \(3\).
  Действительно, число \(N\) и сумма его цифр \(S\) дают одинаковый остаток при делении на \(3\), потому что \(10 \equiv 1 \pmod 3\), а значит \(10^k \equiv 1 \pmod 3\). Поэтому \(N \equiv S \pmod 3\).
• Если сумма цифр делится на \(3\), то и само число делится на \(3\) — по тому же равенству остатков.

Значит, из первого следует второе и из второго следует первое:

\[ N \vdots 3 \iff S(N) \vdots 3 \]

Что это даёт по теме задания

• Первое утверждение — необходимое и достаточное условие для второго (и наоборот).
• Второе утверждение — признак делимости числа на \(3\): по сумме цифр мы распознаём делимость.
• Обратное утверждение здесь не просто истинно, а равносильно исходному — именно поэтому в списке и выбирается «равносильны».

Проверка на примере: число \(123\) — сумма цифр \(1+2+3=6\) делится на \(3\), и само \(123\) делится на \(3\). Число \(124\) — сумма цифр \(7\) не делится на \(3\), и \(124\) на \(3\) не делится.

Это продолжение той же темы — «необходимые и достаточные условия», только теперь про лифты. Отвечаю по новому заданию.

Ответ

Отметить нужно первое и четвёртое высказывания:

• ☑ Если в доме больше 7 этажей, то в нём есть лифт.
• ☑ Если в доме лифта нет, то в этом доме меньше 6 этажей.

Остальные два — ложные.

Почему

Условие задачи: «если этажей больше 5, то лифт есть».

Обозначим: \(P\) — «в доме больше 5 этажей», \(Q\) — «в доме есть лифт». Дано \(P \Rightarrow Q\). Отсюда по правилу контрапозиции верно и \(\neg Q \Rightarrow \neg P\): если лифта нет, то этажей не больше 5, то есть меньше 6.

Теперь проверяем каждый пункт:

1. «Больше 7 этажей ⇒ есть лифт» — верно. Больше 7 значит и подавно больше 5, а тогда лифт обязателен. Это следствие условия.
2. «Нет лифта ⇒ больше 6 этажей» — неверно. Наоборот: нет лифта ⇒ этажей не больше 5, значит их точно не больше 6.
3. «Больше 8 этажей ⇒ нет лифта» — неверно. Больше 8 этажей ⇒ больше 5 ⇒ лифт есть, а не отсутствует.
4. «Нет лифта ⇒ меньше 6 этажей» — верно. Это в точности контрапозиция исходного условия: \(\neg Q \Rightarrow \neg P\).

Проверка

Дом в 9 этажей — лифт есть (пункт 1 выполняется, пункт 3 нарушается). Дом в 4 этажа без лифта — этажей меньше 6 (пункт 4 выполняется, пункт 2 нарушается). Противоречий с условием нет.

Это продолжение той же темы — логические высказывания и следование. Отвечаю по заданию 2.

Ответ

Нужно отметить только третье высказывание:

• ☑ Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он не ведёт урок.

Остальные три высказывания не являются истинными.

Почему

Из условия известно:

Если Николай Дмитриевич ведёт урок, то его телефон выключен.

Обозначим:

• \(P\) — «учитель ведёт урок»;
• \(Q\) — «телефон выключен».

Дано: \(P \Rightarrow Q\).

Проверяем пункты:

1. «Не ведёт урок ⇒ телефон включён» — это \(\neg P \Rightarrow \neg Q\). Из исходного условия не следует: на перемене телефон тоже может быть выключен. Неверно.
2. «Телефон выключен ⇒ ведёт урок» — это \(Q \Rightarrow P\), обратное утверждение. Оно не равносильно исходному: телефон может быть выключен и вне урока. Неверно.
3. «Телефон включён ⇒ не ведёт урок» — это \(\neg Q \Rightarrow \neg P\), то есть контрапозиция исходного утверждения. Она всегда равносильна ему: если бы он вёл урок, телефон был бы выключен. Верно.
4. «Во время любого школьного урока телефон выключен» — слишком широко: в это время урок может вести другой учитель, и тогда телефон Николая Дмитриевича не обязан быть выключенным. Неверно.

\[ (P \Rightarrow Q) \iff (\neg Q \Rightarrow \neg P) \]

Поэтому истинно только третье высказывание.

Это продолжение той же темы — логические высказывания «и», «или» из того же домашнего задания. Вот решение задания 3.

Ответ

В выпадающих списках выбираем:

• «Может ли высказывание «C и D» быть истинным?» — Да;
• «Может ли высказывание «C или D» быть ложным?» — Нет.

Почему

Высказывание \(C\) — «в данном треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\)» — истинно для любого плоского треугольника, это теорема о сумме углов треугольника. Высказывание \(D\) — «данный треугольник прямоугольный» — истинно не всегда, это зависит от конкретного треугольника.

1. «C и D». Союз «и» требует, чтобы оба высказывания были истинны одновременно. Это возможно: например, треугольник с углами \(90^\circ\), \(60^\circ\), \(30^\circ\) — он прямоугольный (\(D\) истинно) и сумма углов у него \(180^\circ\) (\(C\) истинно). Значит, «C и D» может быть истинным.

2. «C или D». Союз «или» даёт ложь только в одном случае — когда оба высказывания ложны:

\[ C \lor D \text{ ложно} \iff (C \text{ ложно и } D \text{ ложно}). \]

Но \(C\) ложно быть не может: в любом треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\). Раз хотя бы одно слагаемое всегда истинно, всё высказывание «C или D» истинно всегда. Значит, ложным оно быть не может — отвечаем «Нет».

Короткая проверка по таблице

Ложной последняя строка столбца «\(C\) или \(D\)» не становится ни в одном случае — отсюда и «Нет».

Это продолжение той же темы — снова логические следование и необходимые/достаточные условия. Отвечаю по заданию 4.

Ответ

Отметить нужно только второй пункт:

• ☐ \(B \to A\)
• ☑ \(A \to B\)
• ☐ \(B \to C\)

Почему

Расшифруем высказывания:

• \(A\) — «\(x\) делится на \(10\)»;
• \(B\) — «\(x\) делится на \(5\)»;
• \(C\) — «\(x\) нечётно».

Проверяем каждый пункт:

1. \(B \to A\): «если \(x\) делится на \(5\), то оно делится на \(10\)».
   Ложно. Контрпример: \(x=5\). Число \(5\) делится на \(5\), но не делится на \(10\).

2. \(A \to B\): «если \(x\) делится на \(10\), то оно делится на \(5\)».
   Истинно всегда. Если \(x=10k\), то \(x=5\cdot 2k\), значит, \(x\) делится на \(5\).

3. \(B \to C\): «если \(x\) делится на \(5\), то \(x\) нечётно».
   Ложно. Контрпример: \(x=10\). Число \(10\) делится на \(5\), но оно чётное.

\[ x \vdots 10 \Rightarrow x \vdots 5 \]

Поэтому при любом натуральном \(x\) истинно только высказывание \(A \to B\).

Это продолжение той же темы — то же домашнее задание, следующее задание 5 про делимость и логические следования. Отвечаю по нему.

Ответ

Отметить нужно первый и третий пункты:

• ☑ \(B \to C\)
• ☐ \(A \to B\)
• ☑ \(B \to A\)

Почему

Расшифруем высказывания:

• \(A\) — «\(x\) делится на \(3\)»;
• \(B\) — «\(x\) делится на \(6\)»;
• \(C\) — «\(x\) чётно».

1. \(B \to C\) — истинно.
Если \(x\) делится на \(6\), то \(x = 6k\). Но \(6k\) всегда чётное, значит, \(x\) чётно.

2. \(A \to B\) — ложно.
Из делимости на \(3\) не следует делимость на \(6\). Контрпример: \(x = 3\). Число \(3\) делится на \(3\), но не делится на \(6\) (оно нечётное).

3. \(B \to A\) — истинно.
Если \(x = 6k\), то \(x = 3 \cdot 2k\), то есть \(x\) делится на \(3\).

\[ x \vdots 6 \;\Rightarrow\; x \vdots 3,\qquad x \vdots 6 \;\Rightarrow\; x \text{ чётно} \]

Всё дело в том, что \(6 = 2 \cdot 3\): делимость на \(6\) «тянет» за собой и делимость на \(3\), и чётность.

Смысл по теме урока

• Делимость на \(6\) — достаточное условие и для \(A\), и для \(C\).
• А делимость на \(3\) и чётность — необходимые условия делимости на \(6\).
• Обратное \(A \to B\) неверно: делимость на \(3\) — необходимое, но не достаточное условие делимости на \(6\).

Проверка: \(x = 12\) — делится на \(6\), на \(3\) и чётно (оба выбранных следования выполняются). \(x = 3\) — делится на \(3\), но ломает \(A \to B\), поэтому второй пункт и не отмечен.