263. Каждому натуральному числу n ставится в соответствие остаток r от деления этого числа на 4. а) Найдите r, если n равно 13, 34, 43, 100.

Краткий ответ

а) \(r(13)=1,\quad r(34)=2,\quad r(43)=3,\quad r(100)=0\).

б) Аргумент — это \(n\).

в) Область определения — все натуральные числа: \(\mathbb N\).

г) Значения функции — возможные остатки от деления на 4: \(\{0,1,2,3\}\).

Как это устроено

При делении с остатком на 4 число записывают так:

\[ n=4q+r,\qquad 0\le r<4, \]

где \(q\) — неполное частное, а \(r\) — остаток. Остаток всегда меньше делителя, поэтому при делении на 4 он может быть только \(0,1,2\) или \(3\).

Дальше:

• \(r\) зависит от \(n\), значит, аргумент — \(n\);
• подставить можно любое натуральное число, поэтому область определения — \(\mathbb N\);
• остаток не может быть равен 4 или больше: тогда можно было бы вычесть ещё одну четвёрку. Значит, значения функции — \(0,1,2,3\).

Проверка: например, \(100=4\cdot25+0\), поэтому остаток действительно \(0\).