Контрольная работа №1 по теме «Множества рациональных и действительных чисел. Рациональные уравнения и неравенства» ВАРИАНТ 1
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа №1 по теме «Множества рациональных и действительных чисел. Рациональные уравнения и неравенства» ВАРИАНТ 1
№ 1. Вычислите: а) \((4,25 \cdot 0,16 - 2,575 : 2,5) \cdot 6\frac{11}{14}+\frac{5}{6}\); б) \(\frac{7\sqrt{57}\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}\).
№ 2. Преобразуйте выражение в рациональную дробь: \[\frac{6x-3}{4x^2-x}\cdot\left(1+\frac{2x}{2x-1}\right)\]
№ 3. Среди пользователей онлайн-кинотеатра 20 % зрителей любят мультики. Остальные пользователи ими не интересуются и их не смотрят. Недавно вышедший мультик в этом онлайн-кинотеатре посмотрели 10 % зрителей. Какой процент это количество составляет от общего числа любителей мультиков?
№ 4. Решите уравнение: а) \((0,25x^2-2)(x-1)=0\); б) \(\frac{5}{x-2}+1=\frac{14}{x^2-4x+4}\).
№ 5. Решите неравенство: \[\frac{(x+2)^2(x-3)(2x+8)}{(x-2)(x+4)(x+2)}\ge0\]
Краткие ответы
- а) \(-1\frac{13}{24}\) (то есть \(-\frac{37}{24}\)); б) \(10,5\).
- \(\frac{3}{x}\) при \(x\ne0,\ \frac14,\ \frac12\).
- \(50\%\).
- а) \(-2\sqrt2,\ 1,\ 2\sqrt2\); б) \(-5,\ 4\).
- \(x\in(-2;2)\cup[3;+\infty)\).
Ключевые шаги
№ 1.
а) Сначала считаем в скобках:
\[
4{,}25\cdot0{,}16=0{,}68,\qquad
2{,}575:2{,}5=1{,}03.
\]
\[
(0{,}68-1{,}03)\cdot6\frac{11}{14}+\frac56
=-\frac7{20}\cdot\frac{95}{14}+\frac56
=-\frac{19}{8}+\frac56
=-\frac{37}{24}.
\]
б) Так как \(\sqrt{57}\cdot\sqrt3=\sqrt{171}=3\sqrt{19}\), получаем: \[ \frac{7\sqrt{57}\cdot\sqrt3}{2\sqrt{19}} =\frac{7\cdot3\sqrt{19}}{2\sqrt{19}} =\frac{21}{2}=10{,}5. \]
№ 2. \[ \frac{6x-3}{4x^2-x} =\frac{3(2x-1)}{x(4x-1)}, \] а \[ 1+\frac{2x}{2x-1} =\frac{2x-1+2x}{2x-1} =\frac{4x-1}{2x-1}. \] После умножения общие множители сокращаются: \[ \frac{3(2x-1)}{x(4x-1)}\cdot\frac{4x-1}{2x-1} =\frac3x. \] Запрещены значения, при которых исходные знаменатели равны нулю: \(x\ne0,\ \frac14,\ \frac12\).
№ 3.
Пусть всех зрителей \(N\). Любителей мультиков \(0{,}2N\), а новый мультик посмотрели \(0{,}1N\). Искомый процент:
\[
\frac{0{,}1N}{0{,}2N}\cdot100\%=50\%.
\]
№ 4.
а) Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей:
\[
0{,}25x^2-2=0 \Rightarrow x^2=8 \Rightarrow x=\pm2\sqrt2,
\]
\[
x-1=0 \Rightarrow x=1.
\]
б) \(x\ne2\), так как \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). Умножаем на \((x-2)^2\): \[ 5(x-2)+(x-2)^2=14, \] \[ x^2+x-20=0, \] \[ (x+5)(x-4)=0. \] Корни \(-5\) и \(4\) оба не равны \(2\), поэтому подходят.
№ 5.
ОДЗ:
\[
x\ne2,\quad x\ne-4,\quad x\ne-2.
\]
Так как \(2x+8=2(x+4)\), после сокращения получаем:
\[
\frac{2(x+2)(x-3)}{x-2}\ge0.
\]
Знаки по промежуткам:
\[
(-\infty;-4)\ —\ минус,\quad
(-4;-2)\ —\ минус,\quad
(-2;2)\ —\ плюс,
\]
\[
(2;3)\ —\ минус,\quad
(3;+\infty)\ —\ плюс.
\]
Нуль \(x=3\) включаем, а \(x=-2,-4,2\) исключены. Поэтому:
\[
x\in(-2;2)\cup[3;+\infty).
\]
Обсуждение
4 сообщенияОбъясни подробно как решать 3 задачу
В задаче № 3 нужно сравнить две доли, причём обе сначала даны в процентах от всех зрителей. А найти надо, сколько процентов составляют посмотревшие мультфильм от любителей мультфильмов.
Пусть всех зрителей будет \(N\).
Любители мультфильмов — это \(20\%\) всех зрителей: \[ 0{,}2N. \]
Новый мультфильм посмотрели \(10\%\) всех зрителей: \[ 0{,}1N. \]
Нас спрашивают: какую долю от любителей мультфильмов составляют те, кто посмотрел новый мультфильм. Значит, нужно разделить число посмотревших на число любителей: \[ \frac{0{,}1N}{0{,}2N}. \]
Множитель \(N\) сокращается: \[ \frac{0{,}1}{0{,}2}=\frac{1}{2}=0{,}5. \]
В процентах: \[ 0{,}5\cdot100\%=50\%. \]
Ответ: \(50\%\).
Можно проверить на конкретном числе. Пусть в кинотеатре \(1000\) зрителей. Тогда:
- любителей мультфильмов \(20\%\), то есть \[ 1000\cdot0{,}2=200; \]
- новый мультфильм посмотрели \(10\%\) всех зрителей, то есть \[ 1000\cdot0{,}1=100. \]
Теперь видно, что \(100\) человек — это половина от \(200\): \[ \frac{100}{200}=0{,}5=50\%. \]
Важно понять принцип: когда спрашивают «сколько процентов от любителей», то \(100\%\) — это уже сами любители мультфильмов, то есть \(20\%\) всех зрителей. Поэтому \(10\%\) всех зрителей составляют половину от \(20\%\), то есть \(50\%\) любителей.
Для похожих задач работает формула: если событие составляет \(q\%\) от всех, а интересующая группа — \(p\%\) от всех, то внутри этой группы событие составляет \[ \frac{q}{p}\cdot100\%. \]
Здесь: \[ \frac{10}{20}\cdot100\%=50\%. \]
Нельзя просто складывать \(10\%\) и \(20\%\) или отвечать \(10\%\): \(10\%\) — это доля от всех зрителей, а вопрос — о доле внутри любителей мультфильмов.
а почему именно 0,1 делим на 0,2 объясни подробно
Потому что вопрос задачи — не «сколько посмотревших в процентах от всех зрителей», а «какую часть посмотревшие составляют от любителей мультфильмов». А на вопрос «какую часть одно число составляет от другого» отвечает деление:
\[ \text{доля}=\frac{\text{часть}}{\text{целое}}. \]
1. Что здесь «часть», а что «целое»
Пусть всех зрителей \(N\).
Любители мультфильмов — это \(20\%\) всех зрителей, то есть \[ 0{,}2N. \] Теперь именно они — наше целое, то есть \(100\%\).
Новый мультфильм посмотрели \(10\%\) всех зрителей, то есть \[ 0{,}1N. \] Это часть любителей.
Значит, нужно узнать, какую долю \(0{,}1N\) составляет от \(0{,}2N\):
\[ \frac{0{,}1N}{0{,}2N}. \]
Множитель \(N\) сокращается:
\[ \frac{0{,}1}{0{,}2}=\frac{1}{2}=0{,}5. \]
То есть посмотревшие составляют половину любителей, или \(50\%\).
2. Почему делим, а не вычитаем
Вычитание отвечает на вопрос «на сколько больше или меньше»:
\[ 0{,}2N-0{,}1N=0{,}1N. \]
Это говорит лишь о том, что разница по величине равна \(0{,}1N\). Но нам нужно не «на сколько», а какую долю одно составляет от другого. На такой вопрос отвечает именно отношение, то есть деление.
Деление \(0{,}1:0{,}2\) показывает, сколько раз \(0{,}2\) укладывается в \(0{,}1\):
\[ 0{,}1=0{,}5\cdot0{,}2. \]
Значит, \(0{,}1\) — это половина от \(0{,}2\).
3. Проверка на конкретном числе
Пусть всех зрителей \(1000\).
- Любителей мультфильмов: \[ 1000\cdot0{,}2=200. \]
- Посмотрели новый мультфильм: \[ 1000\cdot0{,}1=100. \]
Теперь спрашиваем: \(100\) — это какая часть от \(200\)?
\[ \frac{100}{200}=\frac12=0{,}5=50\%. \]
Вот здесь видно, почему делим \(100\) на \(200\), а не наоборот: \(200\) — это вся группа любителей, то есть \(100\%\), а \(100\) — её часть.
4. Почему нельзя ответить \(10\%\)
Потому что \(10\%\) — это доля от всех зрителей. А внутри любителей мультфильмов эта же сотня человек составляет уже другую долю. Сменилось «целое»: раньше считали от \(1000\) человек, теперь считаем от \(200\). Одно и то же число \(100\) от \(1000\) — это \(10\%\), а от \(200\) — это \(50\%\).
5. То же самое через пропорцию
Если \(0{,}2N\) — это \(100\%\), а \(0{,}1N\) — это \(x\%\), то
\[ \frac{0{,}2N}{0{,}1N}=\frac{100\%}{x\%}. \]
Отсюда
\[ x=\frac{0{,}1N\cdot100}{0{,}2N}=50. \]
И снова получается деление \(0{,}1\) на \(0{,}2\).
6. Как не перепутать направление деления
В знаменателе всегда то, от чего считаем процент, — здесь это любители мультфильмов, то есть \(0{,}2N\). В числителе — то, что сравниваем, — посмотревшие, то есть \(0{,}1N\).
Если случайно разделить наоборот:
\[ \frac{0{,}2}{0{,}1}=2=200\%, \]
получится, что посмотревших в два раза больше, чем всех любителей мультфильмов. Но посмотревшие входят в число любителей, поэтому такого быть не может. Это хорошая проверка: доля внутри группы не может быть больше \(100\%\), если часть входит в целое.
Итог: делим \(0{,}1\) на \(0{,}2\), потому что ищем долю посмотревших внутри любителей мультфильмов:
\[ \frac{0{,}1N}{0{,}2N}=\frac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5=50\%. \]
