Постройте график функции
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Постройте график функции \[y=3-\frac{x+2}{x^2+2x}\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Краткий ответ: график не имеет общих точек с прямой \(y=m\) при
\[ m=3 \quad \text{или} \quad m=3{,}5. \]
Как это понять
- Найдём область определения:
\[ x^2+2x\ne0 \] \[ x(x+2)\ne0 \] \[ x\ne0,\qquad x\ne-2. \]
- При \(x\ne-2\) дробь сокращается:
\[ \frac{x+2}{x^2+2x} = \frac{x+2}{x(x+2)} = \frac1x. \]
Поэтому
\[ y=3-\frac1x. \]
Это гипербола \(y=-\frac1x\), сдвинутая вверх на 3. Но при \(x=-2\) исходная функция не определена.
- В точке \(x=-2\) упрощённая формула даёт
\[ y=3-\frac1{-2}=3+\frac12=3{,}5. \]
Значит, точка \((-2;\,3{,}5)\) на графике выколота.
- У графика есть горизонтальная асимптота
\[ y=3. \]
Прямая \(y=3\) не пересекает гиперболу.
Кроме того, прямая \(y=3{,}5\) проходит через выколотую точку, поэтому с самим графиком общих точек не имеет.
Ответ:
\[
\boxed{m=3 \text{ или } m=3{,}5}
\]
Обсуждение
4 сообщенияА можешь сказать, какие значения мне подобрать для х, чтобы начертить его в тетради
Да. Бери \(x\ne0\) и \(x\ne-2\) — эти точки не входят в область определения. Строить удобнее по упрощённой формуле:
\[ y=3-\frac1x. \]
Удобные точки для левой части графика:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -6 & -4 & -3 & -2{,}5 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5\\ \hline y & \frac{19}{6} & \frac{13}{4} & \frac{10}{3} & 3{,}4 & \frac{11}{3} & 4 & 5 \end{array} \]
Для правой части графика:
\[ \begin{array}{c|cccccccc} x & 0{,}25 & \frac13 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6\\ \hline y & -1 & 0 & 1 & 2 & 2{,}5 & \frac{8}{3} & 2{,}75 & \frac{17}{6} \end{array} \]
Что важно при построении:
- \(x=0\) — вертикальная асимптота, проведи её пунктиром.
- \(y=3\) — горизонтальная асимптота, тоже можно показать пунктиром.
- В точке \(x=-2\) формула даёт \(y=3{,}5\), но сама точка \((-2;\,3{,}5)\) выколотая: нарисуй пустой кружок.
- Точки слева и справа от \(x=0\) соединяй отдельно, через ось \(y\) график не проводи.
А в смысле для левой и правой части
«Левая» и «правая» части — это две отдельные ветви графика, которые нельзя соединить между собой.
Почему их две
\[ y=3-\frac1x \]
При \(x\), близком к нулю слева (\(x\to0^-\)), дробь \(\frac1x\to-\infty\), поэтому
\[ y=3-\frac1x\to+\infty. \]
А при \(x\), близком к нулю справа (\(x\to0^+\)), наоборот:
\[ y\to-\infty. \]
То есть у самой оси \(y\) график «уходит» вверх с одной стороны и вниз с другой. В точке \(x=0\) функции нет, поэтому провести линию через ось \(y\) нельзя — получатся две не связанные ветви:
- левая ветвь — все точки с \(x<0\);
- правая ветвь — все точки с \(x>0\).
Именно поэтому в таблицах я и разделил значения \(x\) по знаку: так удобнее отмечать точки каждой ветви отдельно.
Про выколотую точку на левой ветви
В левой ветви есть точка \(x=-2\), где \(y=3{,}5\), но она выколотая. При этом сама ветвь не разрывается: линию проводишь насквозь через это место, только в точке \((-2;\,3{,}5)\) рисуешь пустой кружок. То есть на левой ветви точки \(x=-3;\ -2{,}5\) и \(x=-1{,}5;\ -1;\ -0{,}5\) соединяются одной плавной линией.
Итог для чертежа: две плавные линии — одна целиком слева от оси \(y\) (с пустым кружком в \((-2;\,3{,}5)\)), другая целиком справа. Через ось \(y\) не соединяем, к горизонтальной прямой \(y=3\) обе ветви только приближаются.
